特定分治算法的复杂性

Posted 2023-03-27

【中文标题】特定分治算法的复杂性

【英文标题】：Complexity of a particular divide and conquer algorithm

【发布时间】：2013-10-12 22:47:02

【问题描述】：

算法将大小为 n 的问题分解（划分）为 b 个大小为 n/b 的子问题，其中 b 是整数。分解成本为n，C(1)=1。证明，使用重复替换，对于所有 2≥b 的值，算法的复杂度是 O(n lg n)。

这是我用于我的初始方程 C(n) = C(n/b) + n 并且经过 k 步替换后，我得到 C(n) = C(n/b^k) + n [summation(from i=0 to k-1) of (1/b)^i]

k = log(base b) n

我不确定我是否做对了这一切，因为当我完成这些操作时，我没有得到 n lgn，任何人都可以帮我弄清楚该怎么做？

【参考方案1】：

我认为你的重复是错误的。由于有 b 个大小为 n/b 的单独子问题，因此在 C(n / b) 项之前应该有一个 b 的系数。重复次数应该是

C(1) = 1

C(n) = b C(n/b) +O(n)。

使用主定理，这解决了 O(n log n)。另一种看待这一点的方式是，在将递归 k 次扩大后，我们得到

C(n) = b^k C(n / b^k) + kn

这在 k = log_b n 时终止。代入 k 的值并进行化简，得到 O(n log n) 的值。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

不会重复出现 b^k C(n / b^k) + b^k *(n + n/b + ... + n/b^k)

或者更确切地说，我的意思是 C(n) = b^k * C(n / b^k) + k*n