求两条平行线上的 n 条线段与端点的交点数

Posted 2023-03-27

【中文标题】求两条平行线上的 n 条线段与端点的交点数

【英文标题】：Find the number of intersections of n line segments with endpoints on two parallel lines

【发布时间】：2021-07-05 11:20:59

【问题描述】：

求n条线段与两条平行线上端点的交点数。

设两组n个点：

A=p1,p2,…,pn on y=0 B=q1,q2,…,qn on y=1 每个点 pi 与其对应的点 qi 相连形成一条线段。

我需要使用分治算法编写代码，该算法返回所有n条线段的交点数。

例如：

输入：

3
1 101
-234 234
567 765 

输出：

1

我的代码如下，但我有错误的答案。

谁能帮我解决这个问题或给我另一个解决方案？

#include<iostream>
#include <vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

    void merge1(vector< pair <int, int> > vect, int l, int m, int r)
    
        int n1 = m - l + 1;
        int n2 = r - m;

        vector< pair <int, int> > vect_c_l(n1);
        vector< pair <int, int> > vect_c_r(n2);

        for (int i = 0; i < n1; i++)
            vect_c_l[i] = vect[l + i];
        for (int j = 0; j < n2; j++)
            vect_c_r[j] = vect[m + 1 + j];

        int i = 0;
        int j = 0;

        int k = l;
        
        while (i < n1 && j < n2) 
            if (vect_c_l[i].first <= vect_c_r[j].first) 
                vect[k] = vect_c_l[i];
                i++;
            
            else 
                vect[k] = vect_c_r[j];
                j++;
            
            k++;
        

    
        while (i < n1) 
            vect[k] = vect_c_l[i];
            i++;
            k++;
        

        while (j < n2) 
            vect[k] = vect_c_r[j];
            j++;
            k++;
        
    

    int merge2(vector< pair <int, int> > vect, int l, int m, int r)
    
        int n1 = m - l + 1;
        int n2 = r - m;
        int inv_count = 0;
        vector< pair <int, int> > vect_c_l(n1);
        vector< pair <int, int> > vect_c_r(n2);

        for (int i = 0; i < n1; i++)
            vect_c_l[i] = vect[l + i];
        for (int j = 0; j < n2; j++)
            vect_c_r[j] = vect[m + 1 + j];

    
        int i = 0;
        int j = 0;

        int k = l;

        while (i < n1 && j < n2) 
            if (vect_c_l[i].second < vect_c_r[j].second) 
                vect[k] = vect_c_l[i];
                i++;
            
            else 
                vect[k] = vect_c_r[j];
                j++;
                inv_count = inv_count + (m - i);

            
            k++;
        


        while (i < n1) 
            vect[k] = vect_c_l[i];
            i++;
            k++;
        

        while (j < n2) 
            vect[k] = vect_c_r[j];
            j++;
            k++;
        
        return inv_count;
    

    void mergeSort1(vector< pair <int, int> > vect, int l, int r) 
        if (l >= r) 
            return;
        
        int m = l + (r - l) / 2;
        mergeSort1(vect, l, m);
        mergeSort1(vect, m + 1, r);
        merge1(vect, l, m, r);
    

    int mergeSort2(vector< pair <int, int> > vect, int l, int r) 
        int  inv_count = 0;
        if (r > l) 
            int m = l + (r - l) / 2;

            inv_count += mergeSort2(vect, l, m);
            inv_count += mergeSort2(vect, m+ 1, r);

            /*Merge the two parts*/
            inv_count += merge2(vect, l, m + 1, r);
        
        return inv_count;
    
    

int main() 
    int n,c=0;
    
    cin >> n;
    int a, b;
    vector< pair <int, int> > vect;

    for (int i = 0;i < n;i++) 
        cin >> a >> b;
        vect.push_back(make_pair(a, b));
    
    mergeSort1(vect,0,n-1);

    cout << mergeSort2(vect,0, n - 1);

【参考方案1】：

我会利用这样的想法，即计算线段是否相交 比计算它们相交的位置 简单得多。如果两个线段的 x 值在 y=1 和 y=0 上位于彼此的不同侧，则它们相交。 （即，如果一个段上的两个 x 值都小于其他值，或者都大于其他值）。

对象使这很容易陈述。构建一个段对象，其主要工作是确定它是否与另一个实例相交。

class Segment 
  constructor(x) 
    this.x0 = x[0];
    this.x1 = x[1];
  
  // answer whether the reciever intersects the passed segment
  intersects(segment) 
    // this is ambiguous in the problem, but assume touching endpoints
    // count as intersections
    if (this.x0 === segment.x0 || this.x1 === segment.x1) return true;
    let sort0 = this.x0 < segment.x0
    let sort1 = this.x1 < segment.x1
    return sort0 !== sort1
  


let input = [
  [1, 101],
  [-234, 234],
  [567, 765]
];
let segments = input.map(x => new Segment(x))

// check segments with one another in pairs
let pairs = segments.map((v, i) => segments.slice(i + 1).map(w => [v, w])).flat();
let intersections = pairs.reduce((acc, p) => p[0].intersects(p[1]) ? acc + 1 : acc, 0)
console.log(intersections)

【参考方案2】：

你也可以通过从所有行中抽象来查看问题。

如果没有交集，则表示两条平行线上的索引顺序相同。

因此，交叉点的数量等于您需要在 neughbor 点上执行的交换数量，以在两侧获得相同的索引顺序

在您的示例中，您有两个索引序列 1、3、4、2在上线 2,1,4,3 在下一行

要通过交换邻居来转换较低的序列，您需要 4 次交换：

    2,1,4,3   start
->  1,2,4,3
->  1,4,2,3
->  1,4,3,2
->  1,3,4,2  = upper sequence

【讨论】：

你的例子的答案是 2 而不是 4

@Lily：示例来自问题。在图像中，我看到了 4 个交叉点。