最近的一对点平面情况

Posted 2023-03-27

【中文标题】最近的一对点平面情况

【英文标题】：Closest pair of points Planar case

【发布时间】：2011-08-12 01:08:13

【问题描述】：

我正在查看***条目以了解如何解决此问题。它列出了五个步骤

1.沿x坐标排序

2.用一条垂直线x = xmid将点集分成两个大小相等的子集

3.在左右子集中递归求解问题。这将分别给出左侧和右侧的最小距离 dLmin 和 dRmin。

4.求一对点之间的最小距离dLRmin，其中一个点在分界线的左边，第二个点在右边。

5.最终的答案是dLmin、dRmin、dLRmin中的最小值。

第四步我无法理解。如何选择线左侧的点与线右侧的点进行比较。我知道我不应该比较所有点，但我不清楚如何选择要比较的点。请不要给我发链接，我已经搜索了很多链接，但没有找到可以帮助我理解第 4 步的解释。

谢谢

亚伦

【参考方案1】：

您的问题的答案在***文章的下一段中：

原来第4步可能是 在线性时间内完成。再次，一个 天真的方法需要 计算所有人的距离 左右对，即二次 时间。关键观察基于 的以下稀疏性质 点集。我们已经知道 最近的一对点不再有 除了 dist = min(dLmin,dRmin)。 因此对于左边的每个点 p 我们必须的分界线 比较到点的距离 位于矩形的 尺寸 (dist, 2 * dist) 到 分割线右侧，如图 图中。更重要的是，这 矩形最多可以包含 6 个点 至少有成对距离 dRmin。因此足以 最多计算 6n 左右 步骤 4 中的距离。递归 步数的关系可以 写成 T(n) = 2T(n / 2) + O(n)， 我们可以使用大师解决 得到 O(n log n) 的定理。

我想我不能比他们已经说得更清楚了，但是您对算法的这一步有什么具体问题吗？

【讨论】：

我遇到的问题是尺寸的矩形。这是否意味着如果我在线的左侧有三个点，在线的右侧有三个点，我需要找到所有左右对的距离，然后将它们与最短对的距离进行比较左右？

也就是说，因为我们知道我们不需要考虑大于最小值 dLmin，dRmin 的点对，所以我们可以消除右手点的某个集合。该集合是位于分界线右侧的 (dist, 2*dist) 矩形之外的点（矩形以每个左点为中心）。基本几何表明，该矩形之外的任何点都必须大于距左侧点的距离。事实上，矩形内也有一些点也不是候选点，但我认为计算一个更准确的排除区域以及一个点是否......

其中的计算量将比仅使用“足够接近”的矩形近似值更昂贵。

所以左边的每个点都有一个以该点为中心的矩形。右边recangle中的所有点都需要找到两点之间的距离，对吗？正方形的距离是 x 左侧的最短距离和 y 的 2 * 最短距离吗？这就是 (dist, 2*dist) 吗？

没有。矩形的左侧位于 x-y 分界线上。然后矩形延伸到右手边。矩形的 y 中心是被检查的当前左手点的 y 坐标。矩形 y 长度为 2*dist。但是，是的，您需要找到右侧矩形中所有点与当前左侧点之间的距离。