使用分而治之找到最长的递增子序列

Posted 2023-03-27

【中文标题】使用分而治之找到最长的递增子序列

【英文标题】：Finding longest increasing sub-sequence using divide and conquer

【发布时间】：2016-12-08 15:04:00

【问题描述】：

上周在一次采访中，我被问到上述问题，正如预期的那样，我无法正确回答，后来当我检查时，我发现它是一个基于动态编程的算法。我不精通动态编程，但假设我要设计这个算法，那么我应该如何处理它？

假设，我从 MergeSort 等其他分而治之的算法中汲取灵感，并设计如下解决方案：

将序列分成相等的两半。 找出两半中最长的递增子序列 加入两半。

明明还有缺的，怎么从这里往前走呢？

【问题讨论】：

我不明白，您只想在任何给定问题上应用随机想法并使其发挥作用？这个问题可以通过多种方式解决，但只有少数是自然的，动态编程就是其中之一，虽然显然不是最好的（高效）

@Yerken 据我所知，使用 B-search 对 DP 版本进行了改进，实现了 O(nlgn)，有没有更有效的 LIS 问题算法？

@Yerken 这不是一个随机的想法，分而治之是一种众所周知的技术，其次，我的基本目标是知道锄头来解决对你来说完全陌生的问题。

@shole 我相信解决这个问题的效率最高。至少我不知道更快的方法。

@shole 假设您正在使用整数，如果您使用 van Emde Boas 树而不是二进制搜索，则可以在 O(n * lg(lg(n))) 时间内完成，并且通过额外的密钥重命名（如here 所述），它可以减少到 O(n * lg(lg(k))) 时间，其中 k 是 LIS 的长度。据我所知，这是已知最快的算法。

【参考方案1】：

您的建议不会奏效，因为两半中最长的序列通常不连续，并且当您加入两半时可能存在更长的序列。

您可以按以下方式解决此问题：

在两半中，找到最长的递增子序列，设L和R；

在两半中，找到最长的左对齐递增子序列，令LL和RL；

在两半中，找到右对齐的最长递增子序列，设LR和RR；

对于最长的，如果L、R、LR+RL形成递增序列，则保留最长的；

对于左对齐，如果形成一个递增子序列，则保留 LL 或整个左子序列 + RL；

对于右对齐，如果这形成一个递增的子序列，则保留 RR 或 LR + 整个右子序列。

所有这些操作都在一个递归过程中完成。当你连接两个子序列时，检查它们是否形成一个递增的子序列只需要比较面对的元素。

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更新：

这个“修复”没有彻底检查。