推广中位数算法的中位数

Posted 2023-03-27

【中文标题】推广中位数算法的中位数

【英文标题】：Generalizing the median of medians algorithm

【发布时间】：2021-11-14 15:22:47

【问题描述】：

有人问我找中位数算法的中位数为尺寸G组的一般形式的运行时间。它从常见的实例似乎g=3,5,7与T(n)=T(n/5)+T(2n/3)+cn，T(n)=T(n/5)+T(7n/10)+cn和T(n)=T(n/7)+T(5n/7)+cn分别T(n)=T(n/g)+T(1-(n/(2g)*(g+1)/2))+cn P>的是，一般为奇数。将

不过，我用什么来作为中间使用偶数号g的中位数将两个元素，而不是实际的set本身之间存在着挣扎。有人告诉我，我可以忽略地板和天花板。直觉告诉我，它应该简单地T(n)=T(n/g)+T(1-(n/(2g)*(g)/2))+cn，但我不禁觉得我失去了一些东西。 P>

这是怎样的算法可能与偶数的小组进行讨论谁能给建议？我想我应该能找到的运行时间，一旦我理解该算法。 P>

【参考方案1】：

你的分析是正确的；当 g 为偶数时，您可以将运行时间表示为 T(n) = T(n/g) + T(3n/4) + cn，这是您的简化表达式；无论 g 是偶数还是奇数，当 g > 4 时这是 O(n) 的归纳证明都是相同的。

要了解为什么这个等式是正确的，最简单的方法是考虑如何推导出具有奇数 g 的 T(n) 的表达式。 我们可以假设我们的输入列表 A 没有重复元素，而不失一般性（通过稍微修改算法，或者将每个元素 A[i] 替换为元组 (A[i], i) 并使用字典比较)。这使得分析更加容易。

现在，Median-of-Medians Quickselect 的运行时基于它所做的三件事：

在大小为 ceil(n/g) 的“中位数”列表上递归调用自身以找到 中位数的中位数 M cn 对项目进行分组，围绕 M 划分列表，并找到每个 g 小组的中值，然后 在所有元素小于M的分区、所有元素大于M的分区上递归调用自身，或立即返回。

忽略 ceil 和一个加法 O(1) 常数，这给出了 T(n) = T(n/g) + T(New Partition Size) + cn。新分区大小可以是多大？我是max(# elements less than M, # elements greater than M)。

当g 为奇数时，我们有一半的n/g 组的中位数小于M（所以(g-1)/2，加上1 作为中位数，该组中的元素小于@987654335 @)，一半的中位数大于M（同样，为每个此类组提供(g+1)/2“大于M”元素）。

由于您将偶数列表的中位数定义为两个中间元素的算术平均值，这变得更加简单：n/g 组的一半的中位数小于M，并且每个组的元素恰好有一半该组小于其中位数，因此小于M；相同的逻辑适用于大于。这意味着我们至少消除了 (half of n/g times g/2) 或 n/4 元素，留下了 3n/4 作为最大新分区大小和 T(n) = T(n/g) + T(3n/4) + cn。