O(nlogn) 分治算法找到可见线

Posted 2023-03-27

【中文标题】O(nlogn) 分治算法找到可见线

【英文标题】：O(nlogn) divide and conquer algorithm to find visible lines

【发布时间】：2016-01-05 12:14:54

【问题描述】：

我正在尝试解决附图中显示的问题。我得到了分割部分，您可以在其中递归地将线集分成两半，并且可以看到具有最小和最大斜率的线。

我不知道如何做合并部分，我不明白。

直觉上，起初，我认为如果没有三条线在一点相交，所有线最终都会可见。

同样，征服部分是我会取出看不见的线条......据我了解，在征服阶段之前不应该有任何线条被取出。

如果有人可以为我们这些大脑有点慢的人解释一下，我将非常感激！ :)

【问题讨论】：

如果没有说明性图像，我们只能猜测......计算机 gfx 中看不见的线条去除通常是通过计算表面法线（如果网格是凸面的）来完成的。在此之前，凹面网格细分为凸面网格。可能还有其他算法利用已知的情况来使用它，但如果没有更多信息，很难说你的例子指的是什么。如果您的网格是实心的（不仅仅是线框），那么您可以使用 Z 排序或 Z 缓冲，但我想这不是您想听到的

【参考方案1】：

考虑一个 3 行示例。您有 2 个选项。 a) 只有 2 行可见 b) 所有 3 行都可见。

因此您需要确定中间的是否可见。为此，您可以计算外部 2 条线的交点（称为 A）。如果A在中间线上方则中间那条是隐藏的，如果在下方则可见（画两个图就很明显了）。

要确定该点是高于还是低于线方程中的坐标 (y = ax + b)。如果y > ax + b 则该点在线上，如果y < ax + b 该点在下方，如果y = ax + b 该点在线上（根据问题不应该发生）。

为了解决您的问题，我将按照斜率的顺序排列线条并尝试将它们添加到解决方案中。每次添加新行时，请检查前一行是否仍然可见，如果不可见则将其删除（根据需要重复多次，因为新行可能会隐藏不止一个前一行）。

如果您坚持要进行合并，则需要在合并行上应用此逻辑，以确定您从中间删除了多少行。

【讨论】：

如果我没记错的话，这将需要 O(n^2) 运行时间。我们可以在 nlgn 中做吗？

它是 NlogN 因为排序。添加和删​​除是 O(N)，因为您只添加了一次，然后可能稍后您将其删除（但只有一次）。

每次添加新行并尝试检查它是否可见时，都会与所有其他行一起检查它，这将花费 O(n) 时间。因此，整个算法将花费 O(n^2)，因为您正在为所有 n 行执行此操作。

@MoGanji 你只是部分正确。一行可以检查所有其他行并导致 O(N)，但是这不可能发生在每一行。一种思考方式是，每行添加一次 O(1)。对于每一行，您都有一堆检查失败并删除一行（可能是 O(N) ）和一个通过并停止迭代 O(1) 的检查。所以现在总结一下，我们添加 O(N) 行，我们有 O(N) 检查通过和停止迭代，我们将有 O(N^2) 行删除。但是最后一个不能发生，因为您只能删除 O(N) 行，因为我们总共只有 N

@Sorin 这是一个很好的解释，但是，您如何确定在每次迭代中都删除了一行？如果迭代最终没有删除行怎么办？在这种情况下，可能有 O(n^2)，对吧？