子集和动态规划 - 重叠子问题

Posted 2023-03-16

【中文标题】子集和动态规划 - 重叠子问题

【英文标题】：Subset Sum Dynamic Programming - Overlapping SubProblems

【发布时间】：2015-03-24 04:43:01

【问题描述】：

我无法弄清楚 重叠子问题 的 DP 第一个属性在哪里适合 子集和问题。但是，我了解 Optimal Substructure 部分。在执行包含和排除元素的递归解决方案时，问题在哪里重叠？ 是不是因为它是一个 NP 问题，所以没有 DP 的两个属性。问题的链接是http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-subset-sum-problem/ 有人可以帮助我理解这一点。

【问题讨论】：

我建议您根本不要关心这两个属性。他们既不需要理解和编写动态编程解决方案，也不需要证明它。

@ILoveCoding 所以你的意思是上面没有这两个属性我们也可以找到一个DP解决方案吗？你在子集和的递归解决方案中看到任何重叠问题吗？

不，我想说没有必要使用这两个属性的概念（在我看来，它们无助于解决问题）。你可以证明这个解决方案的正确性，并在没有它们的情况下分析它的时间复杂度。

好的...如果我没有看到上述两个属性，我怎么知道DP可以应用于这个特定的问题？

可以用数学归纳法证明这个解法的正确性。

【参考方案1】：

让我们调用整个数字集 S = s[1], ...., s[n]，目标值 k，如果有一个子集，则写为 f(X, t) = 1 X 总和为 t，否则为 0。所以我们要计算的答案是f(S, k)。

只要两个不同的数字子集具有相同的总和，并且该总和小于目标 k，您就会遇到重叠的子问题。详细地说，假设有一个子集 SI = s[i_1], ..., s[i_p] 和一个不同的子集 SJ = s[j_1], ..., s[j_q]，这样总和(SI) = 总和 (SJ) = i_1 的其他数字；在从 f(S, k) 开始并选择包含 SJ 中的所有数字并且不包含索引 >= j_1 的其他数字之后，然后选择也排除下一个 j_1 - i_1 数字。

工作示例

假设 S = 3, 4, 5, 6, 11 和 k = 14。然后通过排除 11 并包括 5 和 6，我们得到子问题 f(3, 4, 3) （这将有解决方案 1）——这对应于选择 SI = 5, 6 和 i_1 = 3。或者，通过包括 11，然后排除 5 和 6，我们再次得到子问题 f( 3, 4, 3) -- 这对应于选择 SJ = 11 和 j_1 = 5。

【讨论】：

但并不总是有重叠的子问题，对吧？仅当两个不同的数字子集具有相同的总和并且该总和小于目标 k 时才会发生这种情况，正如您在回答中提到的那样，对吗？ @j_random_hacker 和 Raghav。你能否解释一下这个问题的最佳子结构属性。谢谢

@SurbhiJain：如果您的第一个问题是，“是否存在不止一次遇到子问题的问题实例？”那么答案是肯定的：特别是，当没有两个子集给出相同的和时（例如，当 S 是 1, 2, 4, 8, 16, 32 时，每个数字只有 1 种方法介于 0 和 63 之间）。一个很好的思考方式是：绘制一个 n×k 顶点网格，其中 (i, j) 处的顶点对应于子问题 (s[1], ..., s[i], j )，我将其缩写为 (i, j)。现在对于每个这样的顶点 (i, j)，绘制两个传入箭头：一个 ...

... 来自 (i-1, j) 和一个来自 (i-1, js[i])：每个箭头代表一个子问题，我们需要解决它才能解决子问题(i, j)。现在考虑一下：如果从其顶点有多个 outgoing 箭头，则重用子问题。实际上，从顶点 (i, j) 最多可以有 2 个出射箭头：一个水平箭头，指向 (i+1, j)，一个对角箭头，指向 (i+1, j+s[i+1]) .只要存在从 (i+1, j) 到 (n, k) 的路径，或者等效地，只要存在总和的 s[i+2], ..., s[n] 的子集，前者就存在to kj：这个子集有助于“垂直”运动。 ...

... 只要存在从 (i+1, j+s[i+1]) 到 (n, k) 的路径，或者等效地，只要存在 s[i+2], ..., s[n] 之和为 k-(j+s[i+1])：注意我们可以将 s[i+1] 添加到这个集合中以获得第二个，必然不同，S 的子集，总和为 kj。因此，如果 (i, j) 的两个出边都存在，则 S 至少有 2 个子集的总和相同，即 k-j。

在没有重叠子问题的情况下，DP 并没有提供比普通递归解决方案的任何改进。但在这些情况下，它并不比普通递归差，并且在其余情况下可以成倍地更快。