结构递归与生成递归有何不同？

Posted 2023-03-16

【中文标题】结构递归与生成递归有何不同？

【英文标题】：How does structural recursion differ from generative recursion?

【发布时间】：2012-12-25 11:30:28

【问题描述】：

Wikipedia 中对生成递归的描述我很清楚，但我对结构递归的概念感到困惑。

有人能解释一下计算第 n 个斐波那契数的函数和计算从 1 到 N 阶乘的函数是结构性的还是生成性的？

【问题讨论】：

我的两分钱：Fib 使用该定义是生成递归的，因为数据是随着它的进行而“生成”的。然而，根据文章，结构递归是关于遍历 [现有] 图。文章接着指出，一个关键的区别是结构递归可以通过结构归纳来证明终止..

@pst- 我认为斐波那契实际上是结构递归。与其说是“生成”数据，不如说是关于如何为递归调用提供参数。

【参考方案1】：

结构递归和生成递归之间的主要区别在于，递归过程在哪里获取它所处理的数据以及它如何处理这些数据。具体来说，对于结构递归，对原始输入数据的子集进行递归调用。而对于生成递归，递归调用是对根据原始输入数据构造/计算的数据进行的。

例如，如果要计算链表中元素的数量，可以执行以下操作：

int NumberOfNodes(ListNode* node) 
    if (node == nullptr) return 0;
    return 1 + NumberOfNodes(node->next);

在这里，对NumberOfNodes 的递归调用是在node->next 上进行的，这是已经存在的原始输入的一部分。在这种情况下，递归的工作原理是将输入分解成更小的部分，然后在更小的部分上递归。

类似地，在 BST 中搜索值的代码将是结构递归，因为递归调用是针对原始输入的子部分：

TreeNode* Find(TreeNode* root, DataType value) 
    if (root == nullptr) return nullptr;
    if (value < root->value) return Find(root->left, value);
    else return Find(root->right, value);

术语“结构递归”源于这些结构（列表、BST 等）可以递归定义：

一个列表要么什么都不是，要么是一个单元格后跟一个列表。 二叉树要么什么都不是，要么是一个有两棵二叉树作为子节点的节点。

在进行结构递归时，您正在“撤消”这些结构相互构建的操作。例如，NumberOfNodes 函数“取消”获取节点并将其添加到现有列表的构造。 Find 运算符“取消”将节点粘合到另外两棵树的操作。因此，很容易看出为什么这些函数必须终止 - 最终，您“撤消”了最初构建对象的所有操作，然后递归停止。

另一方面，考虑快速排序，它执行以下操作：

选择一个支点。 创建三个新列表：小于枢轴的所有元素之一，大于枢轴的所有元素之一，以及等于枢轴的所有元素之一。 对这些列表中的第一个和第二个进行递归排序。 连接较小、相等和较大值的列表。

在这里，递归调用是在不属于原始输入的较小数组上进行的 - 必须从数据中创建列表。 （通常，实现会为这些列表重用空间，但不能保证这些子列表直接存在于输入中）。

当涉及到自然数时，这种区别是模糊的。通常，自然数递归定义如下：

0 是自然数。 如果 n 是自然数，则 n + 1 是自然数。 没有其他东西是自然数。

在此定义下，数字 n 是 n + 1 的“部分”。因此，此递归代码计算 n！是结构递归：

int Factorial(int n) 
    if (n == 0) return 1;
    return n * Factorial(n - 1);

这是结构递归，因为参数 n - 1 是原始输入 n 的“一部分”。

同样，根据这个定义，递归计算第 n 个斐波那契数算作结构递归：

int Fibonacci(int n) 
    if (n <= 1) return n;
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);

这被认为是结构递归，因为 n - 1 是 n 的一部分（通过“撤消”+1 形成），而 n - 2 是 n - 1 的一部分（再次通过“撤消”+1 形成）。

另一方面，计算 gcd 的这段代码将被视为生成递归，而不是结构递归：

int gcd(int a, int b) 
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);

原因是，由于a % b 是从a 和b“计算”出来的，而不是通过“撤消”一些+1 操作而形成的，因此生成了数据。

生成递归与结构递归不同的原因在于不能保证它会终止。例如，想想这个函数：

int BadTimes(int a, int b) 
    if (a == 0 && b == 0) return 0;
    return BadTimes(a * 2, b - 1);

这个生成递归函数永远不会终止：a 不断变大，尽管 b 不断变小。

老实说，我以前从未听说过这种区别，我教授离散数学和编程课程。除非有人要求您知道其中的区别，否则我不会太担心。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

从您提供的示例和***中的示例中，我了解到所有分而治之的算法（如果以递归方式实现）都将受到生成递归的影响。

@AdityaKumar- 几乎可以，但不一定；这取决于所讨论的结构。例如，在树中找到最大值可以通过分而治之的方法完成，但仍然是结构递归。

嗯...生成递归中的二进制搜索示例是造成我困惑的最大原因之一。

@AdityaKumar- 我认为这与您定义数组的方式有关。我认为他们的定义是“一个数组要么什么都不是，要么是一个值后跟一个数组”。根据该定义，将数组切成两半并不是“撤消”构造操作。再说一遍——老实说，我认为这是一个毫无意义的区别；在从事离散数学多年之前，我从未遇到过这种情况。

开头提到的关键区别，是不是累加递归？