在 MATLAB 中使用 SVD 压缩图像

Posted 2023-03-16

【中文标题】在 MATLAB 中使用 SVD 压缩图像

【英文标题】：Using SVD to compress an image in MATLAB

【发布时间】：2012-11-16 21:12:06

【问题描述】：

我是 MATLAB 的新手，但我正在尝试为灰度图像做一些图像压缩代码。

问题

如何使用 SVD 修剪低值特征值以重建压缩图像？

目前的工作/尝试

到目前为止我的代码是：

B=imread('images1.jpeg');   
B=rgb2gray(B);  
doubleB=double(B);  
%read the image and store it as matrix B, convert the image to a grayscale
photo and convert the matrix to a class 'double' for values 0-255  
[U,S,V]=svd(doubleB);

这使我能够成功地分解图像矩阵，其特征值存储在变量 S 中。

如何截断 S（即 167x301，双精度类）？假设我只想取前 100 个（或任何 n 个）的 167 个特征值，我该怎么做并重建压缩图像？

更新的代码/想法

我没有在 cmets 部分放一堆代码，这是我目前的草稿。我已经能够通过手动更改 N 成功创建压缩图像，但我还想做两件事：

1- 为各种压缩显示一组图像（即，为 N = 5、10、25 等运行循环）

2- 以某种方式计算每个图像与原始图像之间的差异（误差）并绘制图表。

我对循环和输出的理解很糟糕，但这是我尝试过的：

B=imread('images1.jpeg');  
B=rgb2gray(B);  
doubleB=im2double(B);%  
%read the image and store it as matrix B, convert the image to a grayscale  
%photo and convert the image to a class 'double'  
[U,S,V]=svd(doubleB);   
C=S;  
for N=[5,10,25,50,100]  
C(N+1:end,:)=0;  
C(:,N+1:end)=0;  
D=U*C*V';  
%Use singular value decomposition on the image doubleB, create a new matrix  
%C (for Compression diagonal) and zero out all entries above N, (which in  
%this case is 100). Then construct a new image, D, by using the new  
%diagonal matrix C.  
imshow(D);  
error=C-D;  
end

显然有一些错误，因为我没有得到多张图片或知道如何“绘制”错误矩阵

【参考方案1】：

取前 n 个最大特征值及其对应的特征向量可能会解决您的问题。对于 PCA，原始数据乘以第一个升序特征向量将构建您的图像，其中 d 表示特征向量的数量。

【参考方案2】：

首先，我假设您知道 SVD 确实不是对单个图像中的像素进行去相关的最佳工具。但这是一种很好的做法。

好的，所以我们知道B = U*S*V'。我们知道 S 是对角线，并按大小排序。因此，仅使用 S 的前几个值，您将获得图像的近似值。假设C=U*S2*V'，其中 S2 是修改后的 S。U 和 V 的大小没有改变，所以现在最简单的做法是将 S 中不想使用的元素归零，然后运行重建。 （最简单的方法是：S2=S; S2(N+1:end, :) = 0; S2(:, N+1:end) = 0;）。

现在是压缩部分。 U 已满，V 也已满，所以无论 S2 发生什么情况，您的数据量都不会改变。但是看看U*S2 会发生什么。 （绘制图像）。如果您在 S2 中保留 N 个奇异值，则只有 S2 的前 N ​​行是非零的。压缩！除了你仍然需要处理V。在你已经完成(U*S2) 之后，你不能使用相同的技巧，因为更多的U*S2 是非零的而不是S2 本身。我们如何在两边都使用 S2？嗯，它是对角线，所以使用D=sqrt(S2)，现在使用C=U*D*D*V'。所以现在U*D 只有 N 个非零行，D*V' 只有 N 个非零列。只传输这些量，你就可以重构出 C，它与 B 差不多。

【讨论】：

感谢您的详尽解释。如果我有问题/问题，我会看看这个并回来。

目前这是我正在使用的代码：B=imread('images1.jpeg'); B=rgb2gray(B); doubleB=double(B); [U,S,V]=svd(doubleB); C=S; N=100; C(N+1:end,:)=0; C(:,N+1:end)=0; D=U*C*V'; imshow(D);，无论我做什么 N，似乎新图像都是相同的（而且看起来非常粗略）。作为参考，S 为 167x301。我做错了什么？

嗯，实际上，当我运行 imshow(doubleB) 时，图像看起来很糟糕......看起来不像原来的

尝试使用 im2double(B) 代替 double(B)

我刚刚在原始帖子中添加了一些额外的代码和想法。无法理解如何从循环输出图像（更改 N）以及绘制压缩和原始图像之间的差异/错误。

【参考方案3】：

虽然这个问题很老，但它对我理解 SVD 有很大帮助。我已经修改了您在问题中编写的代码以使其正常工作。

我相信您可能已经解决了这个问题，但只是为了供任何访问此页面的人将来参考，我在此处包含完整的代码以及输出图像和图表。

下面是代码：

close all
clear all
clc

%reading and converting the image
inImage=imread('fruits.jpg');
inImage=rgb2gray(inImage);
inImageD=double(inImage);

% decomposing the image using singular value decomposition
[U,S,V]=svd(inImageD);

% Using different number of singular values (diagonal of S) to compress and
% reconstruct the image
dispEr = [];
numSVals = [];
for N=5:25:300
    % store the singular values in a temporary var
    C = S;

    % discard the diagonal values not required for compression
    C(N+1:end,:)=0;
    C(:,N+1:end)=0;

    % Construct an Image using the selected singular values
    D=U*C*V';


    % display and compute error
    figure;
    buffer = sprintf('Image output using %d singular values', N)
    imshow(uint8(D));
    title(buffer);
    error=sum(sum((inImageD-D).^2));

    % store vals for display
    dispEr = [dispEr; error];
    numSVals = [numSVals; N];
end

% dislay the error graph
figure; 
title('Error in compression');
plot(numSVals, dispEr);
grid on
xlabel('Number of Singular Values used');
ylabel('Error between compress and original image');

将此应用于以下图像：

仅使用前 5 个奇异值给出以下结果，

前 30 个奇异值，

以及前 55 个奇异值，

如下图所示，随着奇异值数量的增加，误差的变化。

您可以注意到，该图显示使用大约 200 个第一奇异值会产生大约零误差。

【参考方案4】：

例如，这是Lena 的 512 x 512 黑白图像：

我们计算 Lena 的 SVD。选择大于最大奇异值 1% 的奇异值，我们只剩下 53 个奇异值。用这些奇异值和对应的（左右）奇异向量重构Lena，我们得到Lena的low-rank approximation：

我们可以存储 2 x (512 x 53) + 53 = 54325 个值，而不是存储 512 * 512 = 262144 个值（每个值占用 8 位），这大约是原始大小的 20%。这是如何使用 SVD 进行有损图像压缩的一个示例。

---

这是 MATLAB 代码：

% open Lena image and convert from uint8 to double
Lena = double(imread('LenaBW.bmp'));

% perform SVD on Lena
[U,S,V] = svd(Lena);

% extract singular values
singvals = diag(S);

% find out where to truncate the U, S, V matrices
indices = find(singvals >= 0.01 * singvals(1));

% reduce SVD matrices
U_red = U(:,indices);
S_red = S(indices,indices);
V_red = V(:,indices);

% construct low-rank approximation of Lena
Lena_red = U_red * S_red * V_red';

% print results to command window
r = num2str(length(indices));
m = num2str(length(singvals));
disp(['Low-rank approximation used ',r,' of ',m,' singular values']);

% save reduced Lena
imwrite(uint8(Lena_red),'Reduced Lena.bmp');