用积分函数拟合数据

Posted 2023-03-12

【中文标题】用积分函数拟合数据

【英文标题】：Fitting data with integral function

【发布时间】：2015-07-31 15:45:26

【问题描述】：

当使用scipy.optimize中的curve_fit在python中拟合一些数据时，首先定义拟合函数（例如二阶多项式）如下：

def f(x, a, b): return a*x**2+b*x 然后进行拟合popt, pcov = curve_fit(f,x,y)

但现在的问题是，如何定义第 1 点中的函数。如果函数包含积分（或离散和），例如：

仍然给出了 x 和 f(x) 的实验数据，所以第 2 点会是相似的，我想一旦我可以在 python 中定义 f(x)。顺便说一句，我忘了说这里假设 g(t) 有一个众所周知的形式，并且包含拟合参数，即多项式示例中给出的参数，如 a 和 b。任何帮助深表感谢。这个问题真的应该是一个通用的问题，帖子中使用的函数只是随机示例。

【问题讨论】：

显而易见的答案是：您需要一种方法来评估该积分，要么通过找到封闭形式的解，要么通过使用数值求积。对此没有通用的解决方案。

@cfh 哦，我明白了，这是真的，但如果它没有任何封闭形式的解决方案，那么数值求积究竟意味着什么？不是假设所有参数都应该知道吗？

是的，但是在调用f 时，您知道所有参数，因为它们是作为参数传递的。

在您展示的简单多项式示例中不完全一样吗？有两个参数，a 和 b，您试图拟合它们，但您在公式 a*x**2+b*x 中使用它们。

@cfh 当然可以，但在那个例子中我不必进行数值积分，所以我不必在拟合之前知道 a 和 b。但是按照你的“首先评估积分”的建议，我必须在拟合之前知道 a 和 b （以数字方式进行积分），我没有......

【参考方案1】：

这是一个拟合根据积分定义的曲线的示例。该曲线是sin(t*w)/t+p 对t 从 0 到 Pi 的积分。我们的 x 数据点对应于 w，我们正在调整 p 参数以使数据适合。

import math, numpy, scipy.optimize, scipy.integrate

def integrand(t, args):
    w, p = args
    return math.sin(t * w)/t + p

def curve(w, p):
    res = scipy.integrate.quad(integrand, 0.0, math.pi, [w, p])
    return res[0]

vcurve = numpy.vectorize(curve, excluded=set([1]))

truexdata = numpy.asarray([0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0])
trueydata = vcurve(truexdata, 1.0)

xdata = truexdata + 0.1 * numpy.random.randn(8)
ydata = trueydata + 0.1 * numpy.random.randn(8)

popt, pcov = scipy.optimize.curve_fit(vcurve,
                                      xdata, ydata,
                                      p0=[2.0])
print popt

这将打印出相当接近 1.0 的内容，这是我们在创建 trueydata 时使用的 p。

请注意，我们在曲线函数上使用numpy.vectorize 来生成与scipy.optimize.curve_fit 兼容的矢量化版本。

【讨论】：

这很有趣，很有用，我认为足够通用，但是知道这是不可分割的，我们能做得更好吗？在您的解决方案中，curve 可以是任何东西，并且不会从它是不可分割的事实中受益。也许问题应该改为fitting data with non-vectorized functions？

【参考方案2】：

有时您可能很幸运，并且能够分析地评估积分。在以下示例中，h(t)=exp(-(t-x)**2/2) 和二阶多项式 g(t) 的乘积从 0 积分到无穷大。 Sympy 用于评估 Integral 并生成可用于 curve_fit() 的函数：

import sympy as sy
sy.init_printing()  # LaTeX-like pretty printing of IPython


t, x = sy.symbols("t, x", real=True)

h = sy.exp(-(t-x)**2/2)

a0, a1, a2 = sy.symbols('a:3', real=True)  # unknown coefficients
g = a0 + a1*t + a2*t**2

gh = (g*h).simplify()  # the intgrand
G = sy.integrate(gh, (t, 0, sy.oo)).simplify()  # integrate from 0 to infinty

# Generate numeric function to be usable by curve_fit()
G_opt = sy.lambdify((x, t, a0, a1, a2), G)

print(G_opt(1, 2, 3, 4, 5))  # example usage

请注意，通常问题通常是不适定的，因为积分不一定会收敛于解的足够大的邻域（由curve_fit() 假设）。