通过 scipy.integrate.ode 使用自适应步长

Posted 2023-03-12

【中文标题】通过 scipy.integrate.ode 使用自适应步长

【英文标题】：Using adaptive step sizes with scipy.integrate.ode

【发布时间】：2012-10-07 05:50:12

【问题描述】：

scipy.integrate.ode 的（简要）文档说两种方法（dopri5 和 dop853）具有步长控制和密集输出。查看示例和代码本身，我只能看到一种从集成器获取输出的非常简单的方法。即，看起来您只是将积分器向前移动了某个固定的 dt，获取当时的函数值，然后重复。

我的问题有相当多变的时间尺度，所以我想在需要评估的任何时间步骤获取值以达到所需的容差。也就是说，在早期，事情正在缓慢变化，因此输出时间步长可能很大。但随着事情变得有趣，输出时间步长必须更小。我实际上并不想要等间隔的密集输出，我只想要自适应函数使用的时间步长。

编辑：密集输出

一个相关的概念（几乎相反）是“密集输出”，即所采取的步数与步进器一样大，但函数的值是插值的（通常精度与步进器的精度相当) 到任何你想要的。底层scipy.integrate.ode 的fortran 显然可以做到这一点，但ode 没有接口。另一方面，odeint 是基于不同的代码，并且显然会进行密集输出。 （您可以在每次调用右侧时输出以查看何时发生，并查看它与输出时间无关。）

所以我仍然可以利用自适应性，只要我可以提前决定我想要的输出时间步长。不幸的是，对于我最喜欢的系统，我什至不知道作为时间函数的大致时间尺度是什么，直到我运行集成。因此，我必须将采取积分器步骤的想法与密集输出的概念结合起来。

编辑 2：再次密集输出

显然，scipy 1.0.0 通过一个新接口引入了对密集输出的支持。特别是，他们建议从scipy.integrate.odeint 转向scipy.integrate.solve_ivp，将其作为关键字dense_output。如果设置为True，则返回的对象具有属性sol，您可以使用时间数组调用该属性，然后返回这些时间的集成函数值。这仍然不能解决这个问题的问题，但它在很多情况下很有用。

【参考方案1】：

自从SciPy 0.13.0，

dopri 系列 ODE 求解器的中间结果可以 现在可以通过solout 回调函数访问。

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01
t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

backend = 'dopri5'
# backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend)

sol = []
def solout(t, y):
    sol.append([t, *y])
solver.set_solout(solout)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)
solver.integrate(t1)

sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

结果似乎与 Tim D 的略有不同，尽管他们都使用相同的后端。我怀疑这与dopri5 的FSAL 属性有关。在Tim的方法中，我认为第七阶段的结果k7被丢弃了，所以重新计算k1。

注意：有一个已知的bug with set_solout not working if you set it after setting initial values。从SciPy 0.17.0 开始，它已修复。

【讨论】：

请记住，现在（0.16 版）您必须调用set_solout() 之前 set_initial_value() 否则将不会调用solout。

@syockit 我已经尝试过上述方法（dopri5 和 vode），我发现结果不是确定性的。这意味着对于我的一组僵硬的 ODE，算法有时会成功完成，有时会失败（给定相同的输入）。这对我不起作用。你知道如何强制它成为确定性的，或者我可以在哪里寻找确定性的解决方案？谢谢。

@theJollySin 抱歉回复晚了。不幸的是，稳定算法的选择很大程度上取决于问题的领域，所以我不能给你一个好的一刀切的建议。 scipy.integrate.ode 的当前文档告诉您在处理棘手的问题时使用哪一个或做什么。

【参考方案2】：

仅供参考，虽然答案已经被接受，但我应该指出历史记录，PyDSTool 原生支持沿计算轨迹的任何地方的密集输出和任意采样。这还包括求解器内部使用的所有自适应确定的时间步长的记录。它与dopri853 and radau5 接口，并自动生成与它们接口所需的 C 代码，而不是依赖于（慢得多的）python 函数回调来进行右侧定义。据我所知，任何其他专注于 python 的求解器都没有原生或有效地提供这些功能。

【参考方案3】：

这里还有一个选项也应该适用于dopri5 和dop853。基本上，求解器会根据需要经常调用logistic() 函数来计算中间值，以便我们存储结果：

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt

sol = []
def logistic(t, y, r):
    sol.append([t, y])
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01

t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0
# Maximum number of steps that the integrator is allowed 
# to do along the whole interval [t0, t1].
N = 10000

#backend = 'vode'
backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend, nsteps=N)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)

# Single call to solver.integrate()
solver.integrate(t1)
sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

【讨论】：

这里涉及三个时间步长。最大的是输出时间步长； ode 默认输出什么。然后我们有了积分器的自适应时间步长，这就是我想要输出的地方。最小的是 Runge-Kutta 风格的积分器（例如，dopri5、dop853）使用的中间时间步长。也就是说，dopri5 实际上会在组成单个时间步的中间步骤期间多次调用logistic。我担心的是我相信这些中间步骤的准确性较低。在许多情况下，y 值实际上只是一阶准确的。

“我相信那些中间步骤的精度较低” 糟糕，我认为 logistic 会被积分器的自适应时间步长调用。如果没有，我的回答当然没有帮助。但你确定吗？

这个想法是为正确的增量建立更好的近似值；结合多次调用的结果可以让您取消一些错误术语。事实上，现在我看了一下，***的文章有一节解释"The Runge-Kutta method"，其中显示该函数在步中点处用不同的值计算了两次。因此，在某些情况下，您的 sol 实际上会为相同的 t 值存储两个不同的 y 值，因为第一个值不太准确。

【参考方案4】：

我一直在研究这个以尝试获得相同的结果。事实证明，您可以通过在 ode 实例化中设置 nsteps=1 来使用 hack 来获得逐步结果。它会在每一步生成一个 UserWarning（这可以被捕获和抑制）。

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt
import warnings


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01
t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

#backend = 'vode'
backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'

solver = ode(logistic).set_integrator(backend, nsteps=1)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)
# suppress Fortran-printed warning
solver._integrator.iwork[2] = -1

sol = []
warnings.filterwarnings("ignore", category=UserWarning)
while solver.t < t1:
    solver.integrate(t1, step=True)
    sol.append([solver.t, solver.y])
warnings.resetwarnings()
sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

【讨论】：

这似乎可以完成这项工作，好吧。现在，如果我没有花费数周时间将我的代码移植到 GSL...:)

事实证明，您可以使用这个小技巧solver._integrator.iwork[2] = -1 抑制 Fortran 发出的警告（我将编辑上面的代码以显示这一点）。这会设置一个通过 Fortran 接口传递的标志，该标志禁止打印到标准输出。

【参考方案5】：

integrate 方法接受一个布尔参数step，它告诉该方法返回单个内部步骤。但是，“dopri5”和“dop853”求解器似乎不支持它。

以下代码显示了在使用“vode”求解器时如何获取求解器所采取的内部步骤：

import numpy as np
from scipy.integrate import ode
import matplotlib.pyplot as plt


def logistic(t, y, r):
    return r * y * (1.0 - y)

r = .01

t0 = 0
y0 = 1e-5
t1 = 5000.0

backend = 'vode'
#backend = 'dopri5'
#backend = 'dop853'
solver = ode(logistic).set_integrator(backend)
solver.set_initial_value(y0, t0).set_f_params(r)

sol = []
while solver.successful() and solver.t < t1:
    solver.integrate(t1, step=True)
    sol.append([solver.t, solver.y])

sol = np.array(sol)

plt.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b.-')
plt.show()

结果：

【讨论】：

是的，我担心是这样。我希望有一种简单的方法来扩展dopri5 和dop853，但我的耐心到了fortran 结束，所以我想我会重新实现一个时间步进器。不过，似乎很遗憾，python 没有强大、高效和灵活的集成器......

我在尝试转换使用 ode45 的 MATLAB 脚本时需要同样的功能。我已经在 Scipy.org Ticket#1820 提交了一张票。

@Mike：好吧，即使使用dopri5 和dop853，您也可以始终将值存储在logistic 函数内部，只需调用integrate 方法即可。 （我将把它作为替代答案发布。）

另一方面：我喜欢step=True 功能isn't documented at all。

@Mike 请参阅下面关于 PyDSTool 使用 dopri 853 对密集输出和内部步骤的本机支持的说明。