使用 numpy 的傅立叶变换找到时间序列的最可能周期性？

Posted 2023-03-12

【中文标题】使用 numpy 的傅立叶变换找到时间序列的最可能周期性？

【英文标题】：Find likeliest periodicity for time series with numpy's Fourier Transform?

【发布时间】：2017-12-01 20:40:55

【问题描述】：

假设我有一个包含一百个测量值的时间序列 t，每个条目代表每天的测量值。我假设信号中存在一定的周期性——它可能每天、每周或每月重复一次。

将时间序列转换为傅里叶域可能有助于找到这样的周期性？

如何使用 numpy 的 fft 模块为我的时间序列找到最可能的时期？

【问题讨论】：

对数据做FFT，看看哪个周期的幅度最大。

你的意思是FFT的数组索引与最大条目（幅度）是周期？

是对您的数据影响最大的周期性。原则上，任何只有等于 0 的幅度都是没有贡献的周期性。

不明白fft和fftfreq函数有什么关系？

如果你想找到一年的时间段（尤其是最小/最大的位置），你需要一个足够长的数据系列。

【参考方案1】：

我的目标是回答我自己的问题。你可以在适当的地方纠正我。

假设我们的时间序列 t 是 t = [2,1,0,1,2,3,2,1,0,1,2,3,2,1,0,1,2,3]，有 18 个测量值。一个相当简单的例子：周期的长度似乎很可能是六个时间单位。

将这个时间序列带入频域得到我们：

    w = numpy.fft.fft(t)
    print numpy.absolute(w)
    array([27.000000, 0.000000, 0.000000, 12.000000, 0.000000, 0.000000,
   0.000000, 0.000000, 0.000000, 3.000000, 0.000000, 0.000000,
   0.000000, 0.000000, 0.000000, 12.000000, 0.000000, 0.000000])

我们忽略频率 0 并观察到索引 3 的值最大 - 这表明在我们的时间序列 t 内信号重复 3 次。因此，信号的长度——周期——将是 18/3 = 6。事实上：

numpy.fft.fftfreq(18)
array([ 0.      ,  0.055556,  0.111111,  0.166667,  0.222222,  0.277778,
    0.333333,  0.388889,  0.444444, -0.5     , -0.444444, -0.388889,
   -0.333333, -0.277778, -0.222222, -0.166667, -0.111111, -0.055556])

索引 3 处的频率正好是 1/6，即一个时间单位的频率是 1/6，这意味着信号在整个周期内需要六个时间单位。

如果我的理解正确，请告诉我。

【讨论】：

你确定你的解释最后是否正确？

【参考方案2】：

请注意，FFT 会发现正弦分解，这与周期性估计器不同（因为任何基本周期都可能完全从周期性信号的频谱中丢失。请参阅 missing fundamental）

因此，您需要使用倒谱（使用复杂的倒谱分析等）对 FFT 结果进行后处理，或者可能使用谐波乘积谱估计器。

【参考方案3】：

还有另一种不依赖傅立叶级数的方法。这个方法可以帮助你 识别信号是否是周期性的。理想情况下，在这种情况下，时间序列应该是二进制的：

[0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1]

您首先计算连续峰值位置之间的距离分布。然后，你计算因子

-1<B<1:

B = (var - mean)/(var + mean)

mean 和 varrespectively the mean and the variance of the computed distribution. The closerBto-1the more periodic the signal is. IfB` 接近 0，则信号中没有周期性，峰值在时间序列中随机分布。

有关更多信息，请查找关键字 Burstiness。

【讨论】：

这个理论有参考吗？寻找简单的突发性并没有多大帮助minimal reproducible example (en.wikipedia.org/wiki/Burstiness)。提前致谢。

是的，这里是链接iopscience.iop.org/article/10.1209/0295-5075/81/48002/pdf 图1是一个很好的插图