具有无穷大的复数的 numpy 平均值

Posted 2023-03-11

【中文标题】具有无穷大的复数的 numpy 平均值

【英文标题】：numpy mean of complex numbers with infinities

【发布时间】：2017-09-23 09:13:48

【问题描述】：

numpy 似乎不是复数的好朋友

虽然我们可以评估：

In[2]: import numpy as np

In[3]: np.mean([1, 2, np.inf])
Out[3]: inf

下面的结果比较麻烦：

In[4]: np.mean([1 + 0j, 2 + 0j, np.inf + 0j])
Out[4]: (inf+nan*j)
...\_methods.py:80: RuntimeWarning: invalid value encountered in cdouble_scalars
  ret = ret.dtype.type(ret / rcount)

我不确定想象的部分是否对我有意义。但是，如果我错了，请发表评论。

对在 numpy 中与复杂无穷大进行交互有任何见解吗？

【问题讨论】：

Complex infinities - funny reslts - a numpy bug?的可能重复

【参考方案1】：

当您在数组中使用np.inf 运行函数时，结果将是np.mean 或其他函数（如np.max()）的无穷大对象。但是在这种计算mean() 的情况下，由于您有复数并且无限复数被定义为复平面中的无限数，其复参数未知或未定义，您将得到non*j 为虚部。

为了解决这个问题，您应该忽略此类数学运算中的无穷项。您可以使用isfinite() 函数来检测它们并将该函数应用于有限项：

In [16]: arr = np.array([1 + 0j, 2 + 0j, np.inf + 0j])

In [17]: arr[np.isfinite(arr)]
Out[17]: array([ 1.+0.j,  2.+0.j])

In [18]: np.mean(arr[np.isfinite(arr)])
Out[18]: (1.5+0j)

【参考方案2】：

解决方案

为了计算平均值，我们将总和除以一个实数。由于类型提升，这种划分会导致问题（见下文）。为避免类型提升，我们可以手动对总和的实部和虚部分别执行此除法：

n = 3
s = np.sum([1 + 0j, 2 + 0j, np.inf + 0j])
mean = np.real(s) / n + 1j * np.imag(s) / n
print(mean)  # (inf+0j)

基本原理

这个问题与 numpy 无关，而是与执行复杂除法的方式有关。观察((1 + 0j) + (2 + 0j) + (np.inf + 0j)) / (3+0j) 也会导致(inf+nanj)。

结果需要分成真实和想象的部分。对于除法，两个操作数都被提升为复数，即使你除以一个实数。所以基本上划分是：

 a + bj
--------
 c + dj

除法运算不知道d=0。因此，要将结果拆分为实数和虚数，必须去掉分母中的j。这是通过将分子和分母与复共轭相乘来完成的：

 a + bj     (a + bj) * (c - dj)     ac + bd + bcj - adj
-------- = --------------------- = ---------------------
 c + dj     (c + dj) * (c - dj)        c**2 + d**2

现在，如果 a=inf 和 d=0 术语 a * d * j = inf * 0 * j = nan * j。

【参考方案3】：

因为类型提升。

当您将复数除以实数时，例如 (inf + 0j) / 2，（实数）除数会提升为 2 + 0j。

通过复数除法，虚部等于(0 * 2 - inf * 0) / 4。注意这里的inf * 0 是一个不确定的形式，它的计算结果是NaN。这使得虚部NaN。

回到主题。当numpy 计算一个复杂数组的平均值时，它实际上并没有尝试做任何聪明的事情。首先，它使用“加法”操作来减少数组，得到总和。之后，总和除以计数。这个总和在实部中包含一个inf，当除数（计数）从整数类型提升为复数浮点时，这会导致上述问题。

编辑：关于解决方案的一句话

IEEE 浮点“无穷大”实际上是一个非常原始的构造，它表示像1 / 0 这样的不确定形式。这些形式不是常数，而是可能的限制。特殊的inf 或NaN“浮点数”是通知您存在不确定形式的占位符。它们对限制的存在或类型没有任何作用，您必须根据数学上下文来确定。

即使对于实数，基本限制也可能取决于您如何接近限制。一个肤浅的1 / 0 形式可以去正无穷或负无穷。在复平面上，事情甚至更复杂（嗯）。例如，您可能会遇到分支切割和（不同种类的）奇点。没有万能的解决方案。

Tl;dr：解决模糊/不完整/损坏数据时的潜在问题，或证明最终计算结果可以承受这种损坏（可能发生）。