如何在 Haskell 中实现 B+ 树？

Posted 2023-03-11

【中文标题】如何在 Haskell 中实现 B+ 树？

【英文标题】：How to implement B+ tree in Haskell?

【发布时间】：2013-12-17 01:14:23

【问题描述】：

B+ 树的叶节点链接在一起。将 B+ 树的指针结构视为有向图，它不是循环的。但是忽略指针的方向并将其视为无向的叶节点链接在一起会在图中创建循环。

在 Haskell 中，如何将叶子构造为父内部节点的子节点，同时又是来自相邻叶子节点的下一个链接。用 Haskell 的代数数据类型怎么能做到这一点？似乎 Haskell ADT 通常使类似循环的结构难以表达。

【问题讨论】：

假设您想要可变的 B+ 树，对于“链接”，您将使用 IORef/MVar/TVar/etc 来构建“链接”。然后这个过程看起来就像其他语言一样。

Matthew Brecknell 制作了一个视频，解释了使用 GADT 创建 B 树的过程，您可以在 matthew.brecknell.net/post/btree-gadt 上查看。这不是您想要的，但应该是一个很好的起点。

【参考方案1】：

也许这与您正在寻找的相似？

data Node key value
    = Empty
    | Internal key [Node key value] -- key and children
    | Leaf value (Node key value) -- value and next-leaf
    deriving Show

let a = Leaf 0 b
    b = Leaf 1 c
    c = Leaf 2 d
    d = Leaf 3 Empty
in  Internal [Internal 0 [a,b], Internal 2 [c,d]]

这个定义的一个问题是它不会阻止Leaf 节点中的下一个叶子成为Internal 节点。

用 Haskell 制作循环结构实际上很容易，甚至是无限的。例如，下面是一个无限的零列表，它是循环的。

let a = 0:a

您甚至可以进行相互递归，这更加循环：

let a = 0:b
    b = 1:a
in  a

【讨论】：

顺便说一下，这是多路树，而不是 B+ 树。此外，这并不妨碍我们将任何无效值放入 Leaf 构造函数的 next-leaf 参数中。

【参考方案2】：

以下是（不可变/“可变”通过重构/zipperable）ADT 表示（涉及不可变vectors）的想法：

module Data.BTree.Internal where

import Data.Vector

type Values v = Vector v

type Keys k = Vector k

data Leaf k v
  = Leaf
     _leafKeys   :: !(Keys k)
    , _leafValues :: !(Values v)
    , _leafNext   :: !(Maybe (Leaf k v)) -- @Maybe@ is lazy in @Just@, so this strict mark
                                         -- is ok for tying-the-knot stuff.
    -- , _leafPrev   :: !(Maybe (Leaf k v))
    -- ^ for doubly-linked lists of leaves
    

type Childs k v = Vector (BTree k v)

data Node k v
  = Node
     _nodeKeys   :: !(Keys k)
    , _nodeChilds :: !(Childs k v)
    

data BTree k v
  = BTreeNode !(Node k v)
  | BTreeLeaf !(Leaf k v)

newtype BTreeRoot k v
  = BTreeRoot (BTree k v)

这应该是内部的，因此不当使用原始构造函数、访问器或模式匹配不会破坏树。

可以添加Keys、Values、Childs 长度控制（使用运行时检查或可能使用 GADT 等）。

对于接口：

module Data.BTree ( - appropriate exports - ) where

import Data.Vector
import Data.BTree.Internal

-- * Building trees: "good" constructors.

keys :: [k] -> Keys k
keys = fromList

values :: [v] -> Values v
values = fromList

leaves :: [Leaf k v] -> Childs k v
leaves = fromList . fmap BTreeLeaf

leaf :: Keys k -> Values v -> Maybe (Leaf k v) -> Leaf k v
-- or
-- leaf :: Keys k -> Values v -> Maybe (Leaf k v) -> Maybe (Leaf k v) -> Leaf k v
-- for doubly-linked lists of leaves
leaf = Leaf

node :: Keys k -> Childs k v -> BTree k v
node ks = BTreeNode . Node ks

-- ...

-- * "Good" accessors.

-- ...

-- * Basic functions: insert, lookup, etc.

-- ...

那么这种树：

可以构建为

test :: BTree Int ByteString
test = let
  root  = node (keys [3, 5]) (leaves [leaf1, leaf2, leaf3])
  leaf1 = leaf (keys [1, 2]) (values ["d1", "d2"]) (Just leaf2)
  leaf2 = leaf (keys [3, 4]) (values ["d3", "d4"]) (Just leaf3)
  leaf3 = leaf (keys [5, 6, 7]) (values ["d5", "d6", "d7"]) Nothing
  in root

这种技术称为"tying the knot"。叶子可以循环：

  leaf1 = leaf (keys [1, 2]) (values ["d1", "d2"]) (Just leaf2)
  leaf2 = leaf (keys [3, 4]) (values ["d3", "d4"]) (Just leaf3)
  leaf3 = leaf (keys [5, 6, 7]) (values ["d5", "d6", "d7"]) (Just leaf1)

或双重链接（假设_leafPrev和对应的leaf函数）：

  leaf1 = leaf (keys [1, 2]) (values ["d1", "d2"]) (Just leaf2) (Just leaf3)
  leaf2 = leaf (keys [3, 4]) (values ["d3", "d4"]) (Just leaf3) (Just leaf1)
  leaf3 = leaf (keys [5, 6, 7]) (values ["d5", "d6", "d7"]) (Just leaf1) (Just leaf2)

---

使用mutable vectors 和mutable references 也可以实现完全可变的表示：

type Values v = IOVector v

type Keys k = IOVector k

type Childs k v = IOVector (BTree k v)

    , _leafNext   :: !(IORef (Maybe (Leaf k v)))

等等，基本一样，但是使用IORef和IOVector，工作在IO monad。

【讨论】：

但是不可变的方法可以用于例如插入操作吗？

@user782220 insert 应该是带有签名Ord k => k -> v -> BTreeRoot k v -> BTreeRoot k v 的函数（采用“旧”树并返回“新”），问题是新旧之间可以共享多少数据树（在不可变结构之间共享数据很常见），对于简单的 B 树，可以共享不受影响的子树，但如果叶子是链接的，则应该再次重建整个树。可以通过使链接可变 (!(IORef (Maybe (Leaf k v)))) 来修复它，使向量不可变（或不可变，取决于其他可能的问题（例如重新分配））。

你仍然可以获得一些分享，但会少一些。

@JJJ：Haskell 菜鸟。是否可以将newtype 用于Keys 和Values 而不是type？有什么优点/缺点？