在 Python 中计算 Fiedler 向量

Posted 2023-02-16

【中文标题】在 Python 中计算 Fiedler 向量

【英文标题】：Computing the Fiedler Vector in Python

【发布时间】：2012-06-07 02:40:45

【问题描述】：

如何在 Python 中找到拉普拉斯算子 (L) 的外场向量？

我可以使用以下方法获取特征值和特征向量： 特征值，特征向量 = linalg.eig(L)

我假设 python 不会按顺序返回特征值。

我是否取第二大特征值，然后将其与相应的特征向量匹配（在索引中匹配）？

在对特征值排序时，如何处理负值？是按绝对量级排序吗？

感谢您的帮助

【问题讨论】：

快速解决方案，evals,evec = np.linalg.eigh(L) ind = np.argsort(evals) evals = evals[ind] evec = evec[:,ind]

fiedler = evec[:,1] 连通性 = evals[1]

【参考方案1】：

嗯，我不知道所涉及的数学，但我会尽力而为。

如果您检查documentation，linalg.eig 实际上会以与其对应特征值相同的顺序返回特征向量。

我可能会这样做：

w, v = linalg.eig(L)
seen = 
unique_eigenvalues = []
for (x, y) in zip(w, v):
    if x in seen:
        continue
    seen[x] = 1
    unique_eigenvalues.append((x, y))
fiedler = sorted(unique_eigenvalues)[1][1]

默认情况下，Python 按第一个元素对元组进行排序，然后是第二个，依此类推，并且数字按照您期望的方式排序（-2

另外，我假设可能存在重复的特征值，并且 Fiedler 向量是与第二小的唯一特征值相关联的特征向量。

【讨论】：

快速解决方案evals,evec = np.linalg.eigh(L)ind = np.argsort(evals)evals = evals[ind]evec = evec[:,ind]

@HirakSarkar 我对 numpy 不是很熟悉，evec[:,ind] 在做什么？我认为这在任何情况下都不正确，fiedler 向量是与第二小的 unique 特征值相关联的特征值。除非您以某种方式跳过重复项，否则这是行不通的。

我只是根据特征值对向量进行了排序，所以这里没有找到fiedler向量。但是，一旦您对向量进行了相应的排序，这很容易。

不确定这是否正确，根据定义，费德勒向量和应该等于0。

【参考方案2】：

只是一个额外的解决方案：

import numpy as np
import scipy.linalg as la

eig_values, eig_vectors = la.eig(laplacian)
fiedler_pos = np.where(eigvalues.real == np.sort(eig_values.real)[1])[0][0]
fiedler_vector = np.transpose(eig_vectors)[fiedler_pos]

print("Fiedler vector: " + str(fieder_vector.real))

说明： Fiedler 向量具有最小的非零特征值。因此，我们需要对特征值进行排序，并取第二小的一个（顺便说一下，验证零元素是否也在第一位是有意义的）。这是在np.sort(eigvalues.real)[1] 中完成的，您可以看到已排序（实际）数组的第二个元素被采用。 现在我们只需要匹配原始数组中的值并获取它的位置。这可以通过np.where() 命令方便地完成。结果是括号中定义的所有已发现实例的数组，我们从中取出第一个。 fiedler_pos 变量现在包含特征向量中的 fiedler 向量位置。 为了得到向量本身，一种方法是在相关位置使用转置的特征向量矩阵。