将一个整数除为 k 个部分

Posted 2023-02-16

【中文标题】将一个整数除为 k 个部分

【英文标题】：division an integer into k parts

【发布时间】：2015-06-24 09:07:36

【问题描述】：

我正在用 java 编程，我需要制定一个算法。算法的要求是：

我们有 3 个整数变量n、m、k； 我们想将n 分成k 部分，以便k-parts 的总和 等于n，每个部分都是1和m之间的整数。 我们希望所有可能的组合与允许的整数。

以输入集为例：

n = 7; m = 3; k = 4

我们可以制定两种不同的组合：

7 = 2 + 2 + 2 + 1

和

7 = 3 + 2 + 1 + 1

谢谢大家。

【问题讨论】：

这听起来像是一个 NP 难题。希望有人能说出问题来使您的搜索更容易

您想要“分区”本身还是只希望它们的计数（存在多少分区）？

我不确定这是否完全属于 java 标签。这里的问题更多是算法问题而不是 java 问题。一旦有了算法，java 实现就不应该成为问题

@RoelStrolenberg 这不是 NP 难。它甚至不是普通的硬。 :)

你可以用递归解决这个问题。

【参考方案1】：

这个想法是一种回溯算法方法（带有递归），您可以减少参数并获得部分解决方案，然后检查您是否有正确的解决方案。

public class Problem 

    private static void algorithm(int n, int k, int m) 
        algorithmRecursive(Collections.EMPTY_LIST, n, k, m, 1);
    

    private static void algorithmRecursive(List<Integer> partial, int n, int k, int m, int min) 
        if ( (k > 0) ) 
            // Optimization
            if ((n <= k * m) && (n >= k*min))
                for (int i = min; i <= Math.min(m, n); i++) 
                    List<Integer> newPartial = new ArrayList<>(partial);
                    newPartial.add(i);
                    algorithmRecursive(newPartial, n - i, k - 1, m, i);
                
            
         else if (n == 0) 
            // Right solution
            System.out.println(partial);
        
    

    public static void main(String[] args) 
        algorithm(7,4,3);
    

【参考方案2】：

要获得“分割数”的计数，您可以使用Dynamic Programming，它遵循递归公式：

D(0,0,j) = 1
D(x,0,j) = 0     x > 0
D(x,i,j) = 0     x < 0 or j<0
D(x,i,j) = D(x-j,i-1,j) + D(x,i,j-1)

D(n,k,m) 表示的答案是此类划分的数量。 复杂度是O(n*k*m)

Java 代码：

public static int numDivisions(int n, int m, int k) 
    int[][][] D = new int[n+1][k+1][m];
    for (int j = 0; j < m; j++) 
        for (int x = 0; x <= n; x++) 
            D[x][0][j] = 0;
        
        D[0][0][j] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= k; i++)  
        for (int x = 0; x <= n; x++) 
            for (int j = 0; j < m; j++) 
                D[x][i][j] = 0;
                if (j > 0) D[x][i][j] += D[x][i][j-1];
                if (x-j-1 >=0) D[x][i][j] += D[x-j-1][i-1][j];
            
        
    
    return D[n][k][m-1];

附带说明，这类似于stars and bars 问题 - 但这里的顺序无关紧要，此外，您对单元格中“星”的数量有上限。

【参考方案3】：

我相信这可以通过递归轻松完成。先检查n能不能除，也就是n<=m*k && n>=k的时候，如果不能，返回空数组。

如果是可整除的，则从[1..m]范围内依次选择m'作为第一个数，然后递归获取其余参数n'=n-'m, m'=m', k'=k-1，然后返回所有结果。

只有n=0 和k=0 才能成功停止递归。时间复杂度应该和输出的大小一样。