大 Ө 符号到底代表啥？

Posted 2023-02-14

【中文标题】大 Ө 符号到底代表啥？

【英文标题】：What exactly does big Ө notation represent?大 Ө 符号到底代表什么？

【发布时间】：2012-05-09 17:49:42

【问题描述】：

我对大 O、大 Omega 和大 Theta 符号之间的区别感到非常困惑。

我知道大 O 是上限，大 Omega 是下限，但是 big Ө (theta) 究竟代表什么？

我读过它的意思是紧密绑定，但这是什么意思？

【问题讨论】：

Difference between lower bound and tight bound?的可能重复

【参考方案1】：

首先让我们了解什么是大 O、大 Theta 和大 Omega。都是sets的函数。

Big O 给出上限asymptotic bound，而大 Omega 给出下限。 Big Theta 两者兼而有之。

所有Ө(f(n)) 也是O(f(n))，但反之则不然。 如果T(n) 位于O(f(n)) 和Omega(f(n)) 中，则称T(n) 位于Ө(f(n)) 中。 在集合术语中，Ө(f(n)) 是O(f(n)) 和Omega(f(n)) 的intersection

例如，合并排序最坏情况是O(n*log(n)) 和Omega(n*log(n)) - 因此也是Ө(n*log(n))，但它也是O(n^2)，因为n^2 比它渐近“更大”。但是，它不是Ө(n^2)，因为算法不是Omega(n^2)。

更深入的数学解释

O(n) 是渐近上界。如果T(n)是O(f(n))，则表示从某个n0中，有一个常数C使得T(n) <= C * f(n)。另一方面，大欧米茄说有一个常数C2 使得T(n) >= C2 * f(n)))。

不要混淆！

不要与最坏、最好和平均情况分析相混淆：所有三个（Omega、O、Theta）符号都不与算法的最佳、最坏和平均情况分析相关。这些中的每一个都可以应用于每个分析。

我们通常用它来分析算法的复杂性（如上面的归并排序示例）。当我们说“算法 A 是 O(f(n))”时，我们真正的意思是“最差¹ 案例分析下的算法复杂度是 O(f(n))” - 意思是 - 它缩放“相似”（或正式，不比）函数f(n)。

为什么我们关心算法的渐近界？

嗯，有很多原因，但我相信其中最重要的是：

确定精确复杂度函数要困难得多，因此我们“妥协”在理论上足够丰富的大 O/大 Theta 符号。 确切的操作数也是平台相关的。例如，如果我们有一个包含 16 个数字的向量（列表）。需要多少操作？答案是：视情况而定。一些 CPU 允许向量加法，而另一些则不允许，因此答案在不同的实现和不同的机器之间有所不同，这是一个不受欢迎的属性。然而，大 O 表示法在机器和实现之间更加稳定。

要演示此问题，请查看以下图表：

很明显f(n) = 2*n 比f(n) = n 更“差”。但差异并不像其他功能那么大。我们可以看到f(n)=logn 很快变得比其他函数低很多，f(n) = n^2 很快变得比其他函数高很多。 所以 - 由于上述原因，我们“忽略”了常数因子（图表示例中的 2*），而仅采用大 O 表示法。

在上面的示例中，f(n)=n, f(n)=2*n 将同时在 O(n) 和 Omega(n) 中 - 因此也将在 Theta(n) 中。 另一方面 - f(n)=logn 将在 O(n) 中（它比 f(n)=n“更好”），但不会在 Omega(n) 中 - 因此也不会在 Theta(n) 中。 对称地，f(n)=n^2 将在 Omega(n) 中，但不在 O(n) 中，因此 - 也不是 Theta(n)。

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¹通常，但并非总是如此。当缺少分析类（最差、平均和最佳）时，我们的意思是最坏的情况。

【讨论】：

@krishnaChandra：f(n) = n^2 渐近强于n，因此是 Omega(n)。但是它不是 O(n)（因为对于较大的 n 值，它大于 c*n，对于所有 n）。既然我们说 Theta(n) 是 O(n) 和 Omega(n) 的交集，既然不是 O(n)，也就不可能是 Theta(n)。

很高兴看到有人解释大 O 表示法与算法的最佳/最坏情况运行时间无关。当我在谷歌上搜索主题时，出现了很多网站说 O(T(n)) 意味着最坏情况下的运行时间。

@almel 这是 2*n (2n, 两倍 n) 不是 2^n

@VishalK 1. 大 O 是 上 界，因为 n 趋于无穷大。 2. Omega 是下 界，因为n 趋于无穷大。 3. Theta 是 上限和下限，因为 n 趋于无穷大。请注意，所有边界仅在“因为 n 趋于无穷大”时才有效，因为边界不适用于 n 的低值（小于 n0）。所有 n ≥ n0 的界限都成立，但不低于 n0，因为低阶项占主导地位。

@hey_you 再次阅读答案。 big O,Theta,Omega 用于函数，而不是算法。合并排序是 Omega(n) 最坏的情况。这也是 O(n^2) 最好的情况。这也是 Theta (nlogn) 最坏的情况。基本上，对于每个分析（最差/最佳/平均/...），您都有一个复杂度函数T_best(n), T_worst(n), T_average(n)。它们不必相同（大多数情况下，它们不是相同的）。 O/Omega/Theta 可以独立应用于其中任何一个。

【参考方案2】：

这意味着算法在给定函数中既是大O又是大欧米茄。

例如，如果它是Ө(n)，那么有一些常量k，这样你的函数（运行时，等等），对于足够大的n，大于n*k，以及其他一些常量K 使得你的函数小于n*K 足够大的n。

换句话说，对于足够大的n，它被夹在两个线性函数之间：

对于足够大的k < K 和n，n*k < f(n) < n*K

【讨论】：

没有，那些变量有点混乱，它们是不相关的。

@committedandroider 不，它们是小写和大写，因此不同，他使用的是典型的数学风格，其中两个“相似”（但在这里没有任何关系）变量使用大小写。

【参考方案3】：

Theta(n): 一个函数f(n)属于Theta(g(n))，如果存在正常数c1和c2使得f(n)可以夹在c1(g(n))之间和c2(g(n))。即它给出了上限和下限。

Theta(g(n)) = f(n) : 存在正常数 c1,c2 和 n1 使得 0=n1

当我们说f(n)=c2(g(n)) 或f(n)=c1(g(n)) 时，它表示渐近紧界。

O(n):它只给出上限（可能很紧也可能不紧）

O(g(n)) = f(n) : 存在正常数 c 和 n1 使得 0=n1

ex：边界2*(n^2) = O(n^2) 是渐近紧的，而边界2*n = O(n^2) 不是渐近紧的。

o(n):它只给出上限（从不严格）

O(n) 和 o(n) 之间的显着区别是 f(n) 小于 cg(n) 对于所有 n>=n1 但不等于 O(n)。

ex：2*n = o(n^2)，但2*(n^2) != o(n^2)

【讨论】：

你没有提到大欧米茄，指的是下限。否则，非常好的第一个答案，欢迎！

我喜欢他定义 Theta(n) 的方式。点赞！

将 theta 视为函数的“平均”时间是否正确？我一直听到人们将其称为平均值，但我不确定它仅受上下边界约束的事实是否真的意味着它是平均值。

【参考方案4】：

我希望这是您可能希望在经典的CLRS（第 66 页）中找到的内容：

【参考方案5】：

大 Theta 符号：

没有什么可以搞砸的哥们！！

如果我们有一个正值函数 f(n) 并且 g(n) 接受一个正值参数 n 那么 ϴ(g(n)) 定义为 f(n): 存在常数 c1,c2 和 n1所有 n>=n1

其中 c1 g(n)

举个例子：

让 f(n)=

g(n)=

c1=5 和 c2=8 和 n1=1

在所有符号中，ϴ 符号给出了关于函数增长率的最佳直觉，因为它为我们提供了一个与 big-oh 和 big-omega 不同的紧密界限 它分别给出了上限和下限。

ϴ 告诉我们 g(n) 与 f(n) 尽可能接近，g(n) 的增长率尽可能接近 f(n) 的增长率。​​p>

【参考方案6】：

首先是理论

大 O = 上限 O(n)

Theta = 阶函数 - theta(n)

Omega = Q-Notation（下限）Q(n)

为什么人们如此困惑？

在许多博客和书籍中，这种声明的强调方式是这样的

“这是大 O(n^3)”等。

人们经常像天气一样混淆

O(n) == theta(n) == Q(n)

但值得牢记的是它们只是名称为 O、Theta 和 Omega 的数学函数

所以它们有相同的多项式通式，

让，

f(n) = 2n4 + 100n2 + 10n + 50 那么，

g(n) = n4，所以g(n)是以函数为输入，返回最大幂的变量，

以下所有解释的 f(n) 和 g(n) 相同

大 O(n) - 提供上限

大 O(n4) = 3n4，因为 3n4 > 2n4

3n4 是 Big O(n4) 的值 就像 f(x) = 3x

n4在这里扮演x的角色，所以，

用 x'so 代替 n4，Big O(x') = 2x'，现在我们都很高兴一般概念是

所以 0 ≤ f(n) ≤ O(x')

O(x') = cg(n) = 3n4

投入价值，

0 ≤ 2n4 + 100n2 + 10n + 50 ≤ 3n4

3n4 是我们的上限

Big Omega(n) - 提供下限

Theta(n4) = cg(n) = 2n4 因为 2n4 ≤ 我们的例子 f(n)

2n4 是 Theta(n4) 的值

所以，0≤cg(n)≤f(n)

0 ≤ 2n4 ≤ 2n4 + 100n2 + 10n + 50

2n4 是我们的下限

Theta(n) - 提供紧界

这是为了找出天气下界与上界相似，

案例 1)。上界与下界相似

if Upper Bound is Similar to Lower Bound, The Average Case is Similar

Example, 2n4 ≤ f(x) ≤ 2n4,
Then Theta(n) = 2n4

案例 2)。如果上界与下界不相似

In this case, Theta(n) is not fixed but Theta(n) is the set of functions with the same order of growth as g(n).

Example 2n4 ≤ f(x) ≤ 3n4, This is Our Default Case,
Then, Theta(n) = c'n4, is a set of functions with 2 ≤ c' ≤ 3

希望这能解释清楚！