如何在 3 维空间中找到凸包

Posted 2023-02-14

【中文标题】如何在 3 维空间中找到凸包

【英文标题】：How to find convex hull in a 3 dimensional space

【发布时间】：2013-08-27 07:59:59

【问题描述】：

给定一组点S (x, y, z)。如何找到这些点的convex hull？

我尝试从here 理解算法，但没有得到太多。

上面写着：

首先将所有点投影到 xy 平面上，然后通过选择 y 坐标最高的点找到肯定在船体上的边缘，然后进行一次礼品包装迭代以确定边缘的另一个端点.这是不完整船体的第一部分。然后我们迭代地构建船体。考虑这第一条边；现在找到另一个点以形成船体的第一个三角形面。我们通过选择一个点来做到这一点，使得所有其他点都位于这个三角形的右侧，当正确查看时（就像在礼品包装算法中，我们选择了一条边，使得所有其他点都位于三角形的右侧那个边缘）。现在船体中有三个边缘；继续，我们任意选择其中一个，然后再次扫描所有点以找到另一个点以用该边构建一个新三角形，并重复此操作，直到没有剩余边为止。 （当我们创建一个新的三角形面时，我们将两条边添加到池中；但是，我们必须首先检查它们是否已经添加到船体中，在这种情况下我们忽略它们。）有 O(n) 个面，并且每次迭代都需要 O(n) 时间，因为我们必须扫描所有剩余的点，给出 O(n2)。

谁能用更清楚的方式解释它或提出更简单的替代方法。

【参考方案1】：

实现 3D 凸包并不容易，但已经实现了许多算法，并且代码可以广泛使用。在质量和时间投资的高端使用是CGAL。两种措施的低端是my own C code：       在这两者之间有遍布网络的代码，包括this implementation of QuickHull。

【讨论】：

“这个 QuickHull 的实现”网站似乎已经消失了。在此处存档：web.archive.org/web/20180106161310/http://thomasdiewald.com/…

【参考方案2】：

我建议首先尝试一种更简单的方法，例如快速船体。 （顺便说一句，礼品包装的顺序是 O(nh) 而不是 O(n2)，其中 h 是船体上的点，快速船体的顺序是 O(n log n)）。

在一般情况下，快速外壳效果很好，但在高度对称或点位于圆周上的情况下，处理通常会变慢。快艇可以分解为以下几个步骤：

找到具有最小和最大 x 坐标的点，它们是 必然是凸的一部分。

使用两点形成的线将集合一分为二 点的子集，将被递归处理。

确定线的一侧的点，最大 与线的距离。之前发现的两点与此一起 一个形成一个三角形。

位于该三角形内的点不能是 凸包，因此可以在接下来的步骤中忽略。

在由 三角形（不是初始线）。

继续这样做，直到没有剩下的点为止，递归已经 结束，选择的点构成凸包。

请参阅this 使用快速壳算法对 3d 凸包的实施和解释。

礼品包装算法：

Jarvis 的匹配算法就像在点周围缠绕一根绳子。它首先计算最左边的点 l，因为我们知道最左边的点必须是一个凸包顶点。这个过程将花费线性时间。然后算法执行一系列旋转步骤以找到每个连续的凸包顶点，直到下一个顶点又是原来的最左边的点了。

该算法像这样找到连续的凸包顶点：点 p 之后的顶点是看起来离站在 p 处并看着其他点的人最右边的点。换句话说，如果 q 是 p 之后的顶点，并且 r 是任何其他输入点，那么三元组 p,q,r 是逆时针顺序的。通过执行一系列 O(n) 逆时针测试，我们可以在线性时间内找到每个连续的顶点。

由于算法对每个凸包顶点花费 O(n) 时间，因此最坏情况的运行时间为 O(n2)。但是，如果凸包的顶点很少，Jarvis 的行进速度非常快。编写运行时间的更好方法是 O(nh)，其中 h 是凸包顶点的数量。在最坏的情况下，h = n，我们得到旧的 O(n2) 时间界限，但在最好的情况下，h = 3，算法只需要 O(n) 时间。这就是所谓的输出敏感算法，输出越小，算法越快。

下面的图片应该会给你更多的想法

【讨论】：

看来 OP 正在为 3D 船体寻求帮助，但您的（很好！）描述是针对 2D 船体的......

好吧，如果你了解 2d，3d 是一个非常简单的概括；）

;) 两者都实现后，我会判断它们是......好吧，在不同的维度上！ :-)

【参考方案3】：

用于查找 3D 凸包的 GPL C++ 代码可在 http://www.newtonapples.net/code/NewtonAppleWrapper_11Feb2016.tar.gz 获得，O(n log(n)) 算法的描述可在 http://www.newtonapples.net/NewtonAppleWrapper.html 获得