所有的 NP 问题也是 NP 完全的吗？

Posted 2023-02-16

【中文标题】所有的 NP 问题也是 NP 完全的吗？

【英文标题】：Are all NP problems also NP-complete?

【发布时间】：2011-11-14 02:47:27

【问题描述】：

NP-complete的定义是

如果问题是 NP 完全的，如果

属于NP类 NP 多项式中的所有其他问题都转换为它

那么，如果 NP 中的所有其他问题都转换为 NP 完全问题，那么这是否也意味着所有 NP 问题也是 NP 完全问题？如果两者相同，分类有什么意义？

换句话说，如果我们有一个 NP 问题，那么通过 (2) 这个问题可以转化为一个 NP 完全问题。因此，NP 问题现在是 NP-完全的，并且 NP = NP-完全。两个类是等价的。

只是想自己澄清一下。

【问题讨论】：

旧评论已被删除，因为它不正确 - 不过，这里有一个有趣的 NP \ (P $U$ NP-C) 问题列表。 cstheory.stackexchange.com/questions/79/…

我认为我说的这个评论是错误的。以下是正确的理解吗？ : Problem in NP \ (PU NP-C) = NP-I can reduce to NP-C questions ，并有效地解决这个问题，映射解决方案。

【参考方案1】：

所有的 NP 问题都是 NP 完全的吗？

Only if P = NP.

【讨论】：

很好的可视化，但它没有解释定义中的矛盾或问题中写的推理错误。

【参考方案2】：

不一定。 NP 可能是已知的上限（即，我们知道如何在非确定性多项式时间内求解）但不是已知的下限（可能存在也可能不存在更有效的算法）。

这种问题的一个例子是graph isomorphism。

您的句子“如果我们有一个 NP 问题，那么 [...] 这个问题可以转化为一个 NP 完全问题”是不正确的，原因很简单：P 中的任何问题也在 NP 中，但在P 是 NP 完全的（当然，除非 P=NP）。

【讨论】：

如果 P 在 NP 中，并且所有 NP 问题都转换为 NP-完全问题，因此 P 也必须转换为 NP-完全。

【参考方案3】：

如果问题A 多项式转换为问题B，这并不一定意味着问题B 多项式转换为问题A。一个问题只能归结为一个同等或更高难度的问题。

如果问题C 在 NP 中，但不是 NP 完全问题，那么它可以多项式转化为任何 NP 完全问题，但这不足以使其成为 NP 完全问题，因为它并不意味着NP多项式中的所有其他问题都转换为问题C。

【参考方案4】：

至少应该有可能证明许多 NP 完全问题也在 P 中。例如从一组奇数中的复合奇数中筛选奇素数的问题。有可能在 P 中推导出一个方法来做这件事。验证方法也可以在 P 中，如下链接所述。

https://www.academia.edu/s/bcb7736e1e/proof-of-the-p-verses-np-problem-part-two?source=link

以哥德巴赫猜想问题为例，可以证明为NP完全，素数加起来大于2的偶数可以在线性时间内得到。每个哥德巴赫数都有其自己的特征线，哥德巴赫点作为具有加起来为戈尔巴赫数的质数坐标的点。有关详细信息，请参阅下面的链接：

https://www.academia.edu/35904487/Proof_of_the_P_verses_NP_problem-part_one

【参考方案5】：

我只想指出另一个答案中显示 P=NP=NPC(if P=NP) 的图是错误的。有 2 种情况：空语言 ϵ 及其在 P 中的补集 ∑∗ 永远不可能是 NPC。因为如果这两个在 NPC 中，我们不能将 P/NP 中任何有实例的语言映射到 ϵ，而将 P/NP 中没有实例的任何语言映射到 ∑∗，这与 NPC 的定义相矛盾：任何 NP 都可以简化为NPC。