计算变化数组中的预期反转次数[关闭]

Posted 2023-02-24

【中文标题】计算变化数组中的预期反转次数[关闭]

【英文标题】：Calculation of Expected number of inversions in a changing array [closed]

【发布时间】：2014-09-09 17:42:28

【问题描述】：

问题：我们有一个大小为n的数组，我们最多可以执行K操作，每个操作都可以

将反转次数减少 1。 对整个数组进行随机洗牌。

我的问题是执行K 操作，以使最终数组中的预期反转次数最小化。

约束： 100 个带有 的测试用例 1 1

我的方法：我正在考虑动态编程解决方案。我可以使用马洪数计算在大小为n 的数组中恰好有e 反转的概率。我还按行填充数组dp[k+1][1+n(n-1)/2]，这样dp[i][j] 表示在执行i 操作之后具有j 反转的数组中的最小预期反转然后使用它我可以生成@987654331 的最小预期值数组中所有可能的反转的@操作。

由于 c++ 中双精度数的限制，这种方法的问题是概率不准确，并且该算法对于每个测试用例都是 O(kn<sup>2</sup>)，这非常慢。

例如： 在大小为 100 的数组中没有反转的概率 = 1.0/factorial(100) ~ 10<sup>-160</sup>（我认为这里缺乏精度）。

我认为有一些准确和更有效的方法。请提出一些想法。

谢谢

【问题讨论】：

对于操作 #2，您的意思是对连续子数组进行随机洗牌，即索引在 i 和 j 之间的所有元素的子数组，其中 1

@user2566092 是整个数组的随机洗牌

@userDD 实际上我认为如果数组很大并且操作次数很少我错了，那么最好保持随机改组数组，直到你得到足够低的反转次数机会，然后一旦你这样做了，你就可以通过将其余操作的反转次数减少 1 来完成。

@user2566092 在第一步中，我们可以将反转次数减少到 min(n(n-1)/4,currentInvCount - 1 )，但是在 k 次操作之后我们不能做任何事情。

@btilly 你是对的； this problem 来自 2014 年 9 月的同一场比赛。一旦这条评论在首屏可见，我将删除另一条评论。

【参考方案1】：

为了回答您的问题，您将需要能够计算预期的#inversions，假设您有 k 个左移并假设在第 k 个移动时您洗牌，然后您决定停止洗牌（然后只需减去1）或继续洗牌，具体取决于洗牌后获得的反转次数。如果您只剩下两步并且当前的#inversions 大于n(n-1)/4，这很容易。基本上你先洗牌，然后停止洗牌，如果在你第一次洗牌后反转次数为 n(n-1)/4 或更低，则停止洗牌并为你的第二步减去 1，如果反转次数大于 n，你再次洗牌(n-1)/4 在你第一次洗牌后。但是，对于超过 2 步，事情会变得更加复杂，因为在第 k 步时，如果您洗牌，您可以选择反转次数 Nk 的上限 Nk，然后您将停止并减去 1，并且您需要优化此 Nk因此预期的反转次数总体上是最小的。显然，如果 k 较大，则应选择较小的 Nk，但问题是多少。如果您可以计算 Nk（对于每个 k），那么您将解决您的问题。

我的直觉是，您可以使用某种递归公式在基本上 O(nK) 时间内求解所有 k=1,2,...,K 的 Nk。如果我弄清楚细节，我会更新。如果为真，则意味着您也可以在基本上 O(nK) 的时间内求解出预期的反演次数。