如何判断一个点是在一条线的右侧还是左侧
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【中文标题】如何判断一个点是在一条线的右侧还是左侧【英文标题】：How to tell whether a point is to the right or left side of a line 【发布时间】：2010-12-06 08:08:37 【问题描述】：我有一组点。我想将它们分成 2 个不同的集合。为此，我选择了两个点（a 和 b）并在它们之间画一条假想线。现在我想把这条线左边的所有点放在一组中，把这条线右边的点放在另一组中。
我如何判断任何给定点 z 是在左边还是在右边？我试图计算 azb 之间的角度——小于 180 的角度在右侧，大于 180 的角度在左侧——但是由于 ArcCos 的定义，计算的角度总是更小大于 180°。是否有计算大于 180° 的角度的公式（或任何其他选择右侧或左侧的公式）？
【问题讨论】：
如何定义右或左？ A) 从 P1 到 P2 看或 B) 平面中线的左侧或右侧。 为了澄清问题的第二部分，您可以使用 atan2() 而不是 acos() 来计算正确的角度。然而，正如 Eric Bainville 指出的那样，使用叉积是解决此问题的最佳方法。 下面的许多解决方案都不起作用，因为如果您交换点 a 和 b（我们用来定义线的点），它们会给出相反的答案。我在 Clojure 中给出了一个解决方案，它首先按字典顺序对两个点进行排序，然后再将它们与第三个点进行比较。 【参考方案1】：使用向量行列式的符号(AB,AM)，其中M(X,Y)是查询点：
position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))
在线是0，一侧是+1，另一侧是-1。
【讨论】：
+1 很好，有一点需要注意：当点非常接近线上时，舍入误差可能是一个问题。对于大多数用途来说不是问题，但它确实会时不时地咬人。 如果您发现自己处于此测试的舍入错误导致您出现问题的情况下，您将需要查找 Jon Shewchuk 的“计算几何的快速鲁棒谓词”。 为了澄清，这与直线 (b-a) 和从 a (m-a) 到点的向量之间的叉积的 Z 分量相同。在你最喜欢的向量类中： position = sign((b-a).cross(m-a)[2]) 不会交换 A 和 B 保持同一行，而是更改positions 的符号？
是的。 A,B 定义方向，如“站在 A 看 B 时向左”。【参考方案2】：
使用equation of the lineab，得到与要排序的点在同一y坐标的线上的x坐标。
如果点的 x > 线的 x，则该点位于线的右侧。 如果点的 x 如果点的 x == 线的 x，则该点在线上。【讨论】：
这是错误的，因为从 Aaginor 对第一个答案的评论中可以看出，我们不想弄清楚该点是在 DIRECTED 线 AB 的左侧还是右侧，即如果你站在 A 上，看向 B 是在你的左边还是在你的右边？ @dionyziz - 嗯？我的回答没有为通过 AB 的线分配“方向”。我的回答假设“左”是坐标系的 -x 方向。接受的答案选择定义 vector AB，并使用叉积定义 left。原始问题没有具体说明“左”是什么意思。 注意：如果您使用这种方法（而不是被批准作为答案的跨产品方法），请注意当线接近水平时存在陷阱。数学错误会增加，如果完全水平，则会达到无穷大。解决方案是使用两点之间的增量较大的轴。 （或者也许更小的三角洲..这不是我的想法。） 这完全是我想要的。我不想知道 A 是高于还是低于 B。我只想知道它是否在该线的左侧（负 x 方向）！ 也正是我想要的。非常简单，切中要害。谢谢！【参考方案3】：你看看行列式的符号
| x2-x1 x3-x1 |
| y2-y1 y3-y1 |
一侧的点为正，另一侧为负（线本身的点为零）。
【讨论】：
扩展这个答案，以防人们不知道交叉产品的样子。下一个可视化步骤是 ( (x2-x1) * (y3-y1) ) - ( (y2 - y1) * (x3-x1) )【参考方案4】：矢量(y1 - y2, x2 - x1) 垂直于直线，并且始终指向右侧（或者始终指向左侧，如果您的平面方向与我的不同）。
然后您可以计算该向量与(x3 - x1, y3 - y1) 的点积，以确定该点是否与垂直向量位于直线的同一侧（点积> 0）。
【讨论】：
【参考方案5】：试试这个使用cross product的代码：
public bool isLeft(Point a, Point b, Point c)
return ((b.X - a.X)*(c.Y - a.Y) - (b.Y - a.Y)*(c.X - a.X)) > 0;
其中 a = 线点 1； b = 线点 2； c = 要检查的点。
如果公式等于0，则点共线。
如果直线是水平的，那么如果点在直线上方，则返回 true。
【讨论】：
@lzprgmr：不，这是一个叉积，相当于二维矩阵的行列式。考虑由行 (a,b) 和 (c,d) 定义的二维矩阵。行列式是 ad - bc。上面的形式是将2点表示的直线转化为一个向量(a,b)，然后使用PointA和PointC定义another向量得到(c,d)：(a,b ) = (PointB.x - PointA.x, PointB.y - PointA.y) (c,d) = (PointC.x - PointA.x, PointC.y - PointA.y) 行列式因此如其所述在帖子中。 我认为这是交叉积还是点积的混淆是因为它是二维的。它是在两个维度上的叉积：mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html 对于它的价值，这可以稍微简化为return (b.x - a.x)*(c.y - a.y) > (b.y - a.y)*(c.x - a.x);，但编译器可能会优化它。
此解决方案取决于点 A、B 的顺序。此答案 math.stackexchange.com/questions/757591/... 中提供的解决方案（这意味着计算线 AB 方程）与点 A、B 顺序无关。
情况 a = (1; 0), b = (-1; 0), c = (0; 2) 怎么样？它将返回 false，尽管点 c 位于线的左侧（上方应视为线的左侧，bcz 它形成左转）。证明： ((bX - aX)*(cY - aY) - (bY - aY)*(cX - aX)) = ((-1 - 1) * (2 - 0) - (0 - 0) * (0 - 1)) = -2 * 2 = -4
【参考方案6】：
首先检查是否有垂直线：
if (x2-x1) == 0
if x3 < x2
it's on the left
if x3 > x2
it's on the right
else
it's on the line
然后，计算斜率：m = (y2-y1)/(x2-x1)
然后，使用点斜率形式创建直线方程：y - y1 = m*(x-x1) + y1。为了我的解释，将其简化为斜率截距形式（在您的算法中不是必需的）：y = mx+b。
现在为x 和y 插入(x3, y3)。这是一些伪代码，详细说明了应该发生的情况：
if m > 0
if y3 > m*x3 + b
it's on the left
else if y3 < m*x3 + b
it's on the right
else
it's on the line
else if m < 0
if y3 < m*x3 + b
it's on the left
if y3 > m*x3+b
it's on the right
else
it's on the line
else
horizontal line; up to you what you do
【讨论】：
失败：垂直线的斜率计算无效。没完没了的 if/else 东西。不确定这是否是 OP 所说的左/右的意思 - 如果是这样看它旋转 90 度会将此代码减半，因为“上方”是右或左。 这个答案有几个问题。垂直线导致除以零。更糟糕的是，它失败了，因为它不关心线的斜率是正数还是负数。 @phkahler，修复了垂直线问题。忘记一个测试用例绝对不是失败，但感谢您的客气话。 “无尽的if/else”是对数学理论的解释； OP的问题中没有提到编程。 @woodchips，修复了垂直线问题。斜率是变量 m；我会检查它是正面还是负面。【参考方案7】：基本上，我认为有一个更简单直接的解决方案，对于任何给定的多边形，假设由四个顶点（p1，p2，p3，p4）组成，找到多边形中两个极端相反的顶点，换句话说，找到例如最左上角的顶点（比如说 p1）和位于右下角的相反顶点（比如说 ）。因此，给定您的测试点 C(x,y)，现在您必须在 C 和 p1 以及 C 和 p4 之间进行双重检查：
如果 cx > p1x AND cy > p1y ==> 表示 C 在 p1 的下方和右侧 下一个 if cx 表示C在p4的左上角
结论，C在矩形内。
谢谢:)
【讨论】：
(1) 回答的问题与被问到的不同？当矩形与两个轴对齐时，听起来像“边界框”测试。 (2) 更详细：假设 4 个点之间可能存在的关系。例如，取一个矩形，将其旋转 45 度，得到一个菱形。那颗钻石中没有“左上角”之类的东西。最左边的点既不是最顶部也不是最底部。当然，4个点可以形成更奇怪的形状。例如，3 个点可能在一个方向上很远，而第 4 个点在另一个方向上。继续努力！【参考方案8】：我在 java 中实现了这个并运行了一个单元测试（来源如下）。以上解决方案均无效。此代码通过了单元测试。如果有人发现单元测试没有通过，请告诉我。
代码：注意：如果两个数字非常接近，nearlyEqual(double,double) 返回 true。
/*
* @return integer code for which side of the line ab c is on. 1 means
* left turn, -1 means right turn. Returns
* 0 if all three are on a line
*/
public static int findSide(
double ax, double ay,
double bx, double by,
double cx, double cy)
if (nearlyEqual(bx-ax,0)) // vertical line
if (cx < bx)
return by > ay ? 1 : -1;
if (cx > bx)
return by > ay ? -1 : 1;
return 0;
if (nearlyEqual(by-ay,0)) // horizontal line
if (cy < by)
return bx > ax ? -1 : 1;
if (cy > by)
return bx > ax ? 1 : -1;
return 0;
double slope = (by - ay) / (bx - ax);
double yIntercept = ay - ax * slope;
double cSolution = (slope*cx) + yIntercept;
if (slope != 0)
if (cy > cSolution)
return bx > ax ? 1 : -1;
if (cy < cSolution)
return bx > ax ? -1 : 1;
return 0;
return 0;
这是单元测试：
@Test public void testFindSide()
assertTrue("1", 1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, -1));
assertTrue("1.1", 1 == Utility.findSide(25, 0, 0, 0, -1, -14));
assertTrue("1.2", 1 == Utility.findSide(25, 20, 0, 20, -1, 6));
assertTrue("1.3", 1 == Utility.findSide(24, 20, -1, 20, -2, 6));
assertTrue("-1", -1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, 1, 1));
assertTrue("-1.1", -1 == Utility.findSide(12, 0, 0, 0, 2, 1));
assertTrue("-1.2", -1 == Utility.findSide(-25, 0, 0, 0, -1, -14));
assertTrue("-1.3", -1 == Utility.findSide(1, 0.5, 0, 0, 1, 1));
assertTrue("2.1", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 10,20));
assertTrue("2.2", 1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 10,20));
assertTrue("2.3", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 20,10));
assertTrue("2.4", -1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 20,10));
assertTrue("vertical 1", 1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 0,0));
assertTrue("vertical 2", -1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 0,0));
assertTrue("vertical 3", -1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 5,0));
assertTrue("vertical 3", 1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 5,0));
assertTrue("horizontal 1", 1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,0));
assertTrue("horizontal 2", -1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,0));
assertTrue("horizontal 3", -1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,-9));
assertTrue("horizontal 4", 1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,-9));
assertTrue("positive slope 1", 1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,2));
assertTrue("positive slope 2", -1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,2));
assertTrue("positive slope 3", -1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,0));
assertTrue("positive slope 4", 1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,0));
assertTrue("negative slope 1", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
assertTrue("negative slope 2", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
assertTrue("negative slope 3", 1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, -1,-2));
assertTrue("negative slope 4", -1 == Utility.findSide(-10,10, 0,0, -1,-2));
assertTrue("0", 0 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, 0));
assertTrue("1", 0 == Utility.findSide(0,0, 0, 0, 0, 0));
assertTrue("2", 0 == Utility.findSide(0,0, 0,1, 0,2));
assertTrue("3", 0 == Utility.findSide(0,0, 2,0, 1,0));
assertTrue("4", 0 == Utility.findSide(1, -2, 0, 0, -1, 2));
【讨论】：
【参考方案9】：假设点是 (Ax,Ay) (Bx,By) 和 (Cx,Cy)，则需要计算：
(Bx - Ax) * (Cy - Ay) - (By - Ay) * (Cx - Ax)
如果点 C 在由点 A 和 B 形成的线上，则这将等于零，并且根据边的不同，符号会有所不同。这是哪一边取决于您的 (x,y) 坐标的方向，但您可以将 A、B 和 C 的测试值插入此公式以确定负值是在左侧还是右侧。
【讨论】：
【参考方案10】：@AVB 在 ruby 中的回答
det = Matrix[
[(x2 - x1), (x3 - x1)],
[(y2 - y1), (y3 - y1)]
].determinant
如果det 为正则其上方，如果为负则其下方。如果为0，则上线。
【讨论】：
【参考方案11】：这是一个版本，同样使用叉积逻辑，用 Clojure 编写。
(defn is-left? [line point]
(let [[[x1 y1] [x2 y2]] (sort line)
[x-pt y-pt] point]
(> (* (- x2 x1) (- y-pt y1)) (* (- y2 y1) (- x-pt x1)))))
示例用法：
(is-left? [[-3 -1] [3 1]] [0 10])
true
也就是说点 (0, 10) 位于由 (-3, -1) 和 (3, 1) 确定的线的左侧。
注意：这个实现解决了一个其他（到目前为止）都没有解决的问题！ 顺序很重要，在给出决定线的点时。即，在某种意义上，它是一条“有向线”。所以用上面的代码，这个调用也会产生true的结果：
(is-left? [[3 1] [-3 -1]] [0 10])
true
那是因为这段代码的 sn-p：
(sort line)
最后，与其他基于叉积的解决方案一样，此解决方案返回一个布尔值，并且不给出共线性的第三个结果。但它会给出一个有意义的结果，例如：
(is-left? [[1 1] [3 1]] [10 1])
false
【讨论】：
【参考方案12】：了解网络专家提供的解决方案的另一种方法是了解一点几何含义。
令 pqr=[P,Q,R] 是形成一个平面的点，该平面被线 [P,R] 分成 2 条边。我们要找出 pqr 平面上的两个点 A,B 是否在同一侧。
pqr 平面上的任意点 T 可以用 2 个向量表示：v = PQ 和 u = RQ，如：
T' = T-Q = i * v + j * u
现在几何含义：
-
i+j =1: 公关线上的T
i+j
i+j >1: Snq 上的 T
i+j =0: T = Q
i+j
i+j: <0 0 <1 =1 >1
---------Q------[PR]--------- <== this is PQR plane
^
pr line
一般来说，
i+j 是 T 与 Q 或线 [P,R] 的距离的度量，而 i+j-1的符号暗示了T的偏向。i 和 j 的其他几何意义（与本解法无关）为：
i,j 是 T 在新坐标系中的标量，其中 v,u 是新坐标轴，Q > 是新的起源； i, j 可以分别看作是P,R的拉力。 i 越大，T 离 R 越远（与 P 的拉力越大）。i,j的值可以通过解方程得到：
i*vx + j*ux = T'x
i*vy + j*uy = T'y
i*vz + j*uz = T'z
所以我们在平面上得到了 2 个点 A,B：
A = a1 * v + a2 * u
B = b1 * v + b2 * u
如果 A、B 在同一侧，则为真：
sign(a1+a2-1) = sign(b1+b2-1)
请注意，这也适用于以下问题：A,B 是否在平面 [P,Q,R] 的同一侧，其中：
T = i * P + j * Q + k * R
and i+j+k=1 意味着 T 在平面 [P,Q,R] 和 i+j+k-1 的符号暗示它的侧面。由此我们有：
A = a1 * P + a2 * Q + a3 * R
B = b1 * P + b2 * Q + b3 * R
如果
和A,B在平面[P,Q,R]的同一侧sign(a1+a2+a3-1) = sign(b1+b2+b3-1)
【讨论】：
【参考方案13】：我想提供一个受物理学启发的解决方案。
想象一个沿线施加的力，并且您正在测量该力关于该点的扭矩。如果扭矩为正（逆时针），则该点位于直线的“左侧”，但如果扭矩为负，则该点位于直线的“右侧”。
所以如果力向量等于定义线的两点的跨度
fx = x_2 - x_1
fy = y_2 - y_1
您根据以下测试的符号测试点(px,py) 的边
var torque = fx*(py-y_1)-fy*(px-x_1)
if torque>0 then
"point on left side"
else if torque <0 then
"point on right side"
else
"point on line"
end if
【讨论】：
【参考方案14】：直线方程为 y-y1 = m(x-x1)
这里 m 是 y2-y1 / x2-x1
现在将 m 放入方程中，并将条件放在 y
例如。
for i in rows:
for j in cols:
if j>m(i-a)+b:
image[i][j]=0
【讨论】：
【参考方案15】：A(x1,y1) B(x2,y2) 一条长度为 L=sqrt( (y2-y1)^2 + (x2-x1)^2 ) 的线段
和一个点 M(x,y)
进行坐标变换，使 A 点成为新起点，B 点成为新 X 轴的点
我们有了点 M 的新坐标
哪些是 newX = ((x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)) / L 从 (x-x1)*cos(t)+(y-y1)*sin(t) 其中 cos(t)=(x2-x1)/L, sin(t)=(y2-y1)/L
newY = ((y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(y2-y1)) / L 从 (y-y1)*cos(t)-(x-x1)*sin(t)
因为“左”是 X 轴的一侧，Y 为正，如果 newY（即 M 到 AB 的距离）为正，那么它在 AB 的左侧（新的 X 轴） 如果您只想要符号，则可以省略除以 L（始终为正）
【讨论】：
以上是关于如何判断一个点是在一条线的右侧还是左侧的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章