我们如何只进行 16 次比较就对 8 个元素进行归并排序？

Posted 2023-02-23

【中文标题】我们如何只进行 16 次比较就对 8 个元素进行归并排序？

【英文标题】：How can we carry out merge sort of 8 elements with only 16 comparisons?

【发布时间】：2012-01-31 01:28:40

【问题描述】：

好吧，我前几天问了一个关于排序的问题。我发现了如何通过对 8 个元素进行排序来证明最少的比较次数是 16，我明白了为什么。但是我的归并排序算法计算了 17 次比较，在我的情况下它是正确的。要合并两个长度分别为 x 和 y 的排序数组，我们需要 (x+y)-1 次比较，因此在合并排序中我们得到 17 次比较。但是必须有 16 次比较才能实现，所以.. 怎么样？我在哪里可以保存那 1 个比较）。

这是一张图片：

http://oeis.org/A001768

谢谢！

【问题讨论】：

这就是previous question

您说您已经知道“如何证明 ... 是 16”。你的证明应该能够回答这个问题。

我的意思是我希望理论上是可能的

使用合并排序对 8 个元素进行排序所需的“最少”比较次数小于 16。例如，如果您的两个 4 元素子数组是 [0, 1, 2, 3] 和 [4, 5, 6, 7]，那么合并它们只需要四次比较。在第四次比较之后，第一个子数组为空，您可以复制第二个子数组——不需要进行项目比较。

使用基数排序或其他一些您不再需要比较的非比较排序算法。

【参考方案1】：

OP 包含一个明确的证据，证明 8 个元素的 归并排序 在少于 17 次比较的情况下是不可能的。仍然可以在与其他算法的 16 次比较中对 8 个元素进行排序。该算法在 D.Knuth 的“计算机编程的艺术”，第 3 卷，第 5.3.1 章中进行了描述。它被命名为合并插入。

最少的比较次数并不能使该算法成为最快的算法。例如，Batcher odd–even mergesort 进行了 19 次比较，很容易胜过 合并插入，因为它并行执行大多数比较。

【讨论】：

非常好的答案.. 我的问题有一个完整的段落，比较次数是“最好的最坏情况”。

【参考方案2】：

您可以通过尝试所有可能的算法来证明 16 次比较是不够的。为此，您将需要“算法生成算法”。

【参考方案3】：

只有当你有奇数个数字要排序时，你才能得到最少的解。

【讨论】：

怎么样？这对我来说并不明显。

因为您在最低级别保存了比较。你的基地就像 2 - 2 - 2 - 1 有 7 个元素。因此，您不需要比较最后一对（因为它不是一对）。