在C中找到大整数的所有质因子的更好方法？

Posted 2023-02-22

【中文标题】在C中找到大整数的所有质因子的更好方法？

【英文标题】：Better way to find all the prime factors of huge integers in C?

【发布时间】：2020-04-20 01:49:35

【问题描述】：

我用 C 语言编写了一个代码，它基本上列出了一个巨大数字的所有质因数，它使用 gmp 库存储。这里是：

int is_div(mpz_t number, mpz_t i) 
    return mpz_divisible_p(number,i)!=0;


mpz_t * prime_divs(mpz_t number)
    mpz_t * prime_dividers = NULL;
    mpz_t i, i_squared,TWO, comp;
    mpz_inits(i, i_squared, TWO, comp, NULL);
    mpz_set_ui(i,2);
    mpz_mul(i_squared, i ,TWO);
    while(mpz_cmp(i_squared,number)<=0)
        if(is_div(number,i))
            mpz_fdiv_q(comp, number, i);
            if(is_prime(i)) append(&prime_dividers,i);
            if(is_prime(comp)) append(&prime_dividers,comp);
        
        mpz_add_ui(i,i,1);
        mpz_mul(i_squared, i ,i);
    
    mpz_clears(i, i_squared, TWO, comp, NULL);
    return prime_dividers;

请注意，这里没有定义函数int is_prime(mpz_t n)，因为它很长。只要知道它是米勒拉宾素性检验的确定性变体（最多 3,317,044,064,679,887,385,961,981）的实现。函数void append(mpz_t** arr, mpz_t i) 也是如此，它只是一个将其附加到列表的函数。

所以我的prime_divs 函数在[2,sqrt(number)] 范围内搜索除number 的所有整数i。如果是这种情况，它然后计算它的互补除数（即number/i）并确定它们中的任何一个是否是素数。如果这些整数是素数，那么它们将使用append 附加到一个列表中。

有什么方法可以让prime_divs 更快？

【问题讨论】：

Erathosthenes 的筛子比确定性的 Miller-Rabin 对大量数字慢得多。

但是测试[2, sqrt(number)] 范围内的每个数字可能会否定使用 M-R 获得的任何效率。您至少应该将循环限制为奇数，因为唯一的偶数是2。

GMP 源 tarball 在 demos 目录中包含一个程序 factorize.c，它实现了 Pollard's rho algorithm。这不是已知的用于分解大整数的最快算法，但它比新算法更容易理解。

您可以通过在每次循环中将 2 添加到 i 来立即将速度加倍（在首先检查 2 和 3 之后）。这样你只测试奇数除数。您可以使用更复杂的模式来剔除更多因素（例如，一旦超过 3，只测试 1 或 5 mod 6 的除数）。图案越大，您必须走得越远才能应用它。

@Michael 你的反对毫无意义。对于 348，它是这样的：首先找到因子 2，它出现了两次。所以你除以 4 得到 87。然后你继续寻找，你找到了 3，它出现了一次。所以你除以 3 得到 29。然后你继续查找 sqrt(29)，但找不到其他因素。这意味着 29 必须是素数，所以你完成了：348 = 2*2*3*29。这是非常非常简单的。你错过了29这个因素吗？不，当然不。这是检查所有可能因素后剩下的素数。

【参考方案1】：

我怀疑您可以通过首先检查小的除数来节省时间。使用埃拉托色尼筛法建立一个低于 5,000 或 10,000 的素数列表。然后使用该列表查找大数字中的小因素（如果有的话）。每次你找到一个因子（可能多次找到同一个因子）时，将那个因子除以减少目标数字的大小。

当您用尽小素数列表时，可能值得在尝试分解大残差之前对其进行快速素性检查。这避免了浪费大量时间寻找大素数的因子。您需要测试这个想法，看看它是否真的为您节省了时间。

只有这样你才能调用 M-R 检验来找出剩余的因素。