链表上合并排序的运行时间？

Posted 2023-02-22

【中文标题】链表上合并排序的运行时间？

【英文标题】：Running time of merge sort on linked lists?

【发布时间】：2014-05-23 16:25:19

【问题描述】：

我遇到了这段代码来对链接列表执行合并排序.. 作者声称它运行时间为 O(nlog n).. 这是它的链接... http://www.geeksforgeeks.org/merge-sort-for-linked-list/ 我的主张是它至少需要 O(n^2) 时间……这是我的论点…… 看，你划分列表（无论是数组还是链表），记录 n 次（参考递归树），在每个分区期间，给定一个大小为 i=n，n/2，...，n/2^ 的列表k，我们将花费 O(i) 时间来划分原始/已经划分的列表。由于 sigma O(i)= O(n)，我们可以说，对于任何给定的调用，我们需要 O(n) 时间来划分分区（草率），因此考虑到执行单个分区所需的时间，现在出现的问题是总共会发生多少个分区，我们观察到每个级别 i 的分区数等于 2^i ，所以求和 2^0+2^1+....+2^(lg n ) 给我们 [2(lg n)-1] 作为简化的总和，这只是 (n-1) ，这意味着我们称分区 n-1，（让我们将其近似为 n），时间如此，复杂度至少是 n^2 的大欧米伽。 如果我错了，请告诉我在哪里...谢谢:)

然后经过一些回顾，我将 master 方法应用于递归关系，其中我将用于数组上的传统合并排序的 1 替换为这种类型的合并排序的 n 的 theta（因为除法和组合操作每次取 n 次的 theta），运行时间原来是 (n lg n) 的 theta... 我还注意到每个级别的成本是 n（因为 2 power i * (n/(2pow i))）...是每个级别所花费的时间...所以它在每个级别的 n 的 theta * lg n水平..暗示它的θ（n lg n）......我只是解决了我自己的问题吗？？请帮助我自己有点困惑......

【问题讨论】：

合并两个链表可以在 O(n) 的运行时间内完成。对这些中的每一个进行排序将花费 O (N log N)

在递归树的每一层，你都做 O(n) 的工作。有 O(log n) 个级别。 Q.E.D

【参考方案1】：

大小为 n 的输入列表的递归复杂度定义为

T(n) = O(n) + 2 * T(n / 2)

展开我们得到：

T(n) = O(n) + 2 * (O(n / 2) + 2 * T(n / 4))
     = O(n) + O(n) + 4 * T(n / 4)

再次展开我们得到：

T(n) = O(n) + O(n) + O(n) + 8 * T(n / 8)

显然这里有一个模式。因为我们可以精确地重复这个扩展 O(log n) 次，所以我们有

T(n) = O(n) + O(n) + ... + O(n)   (O(log n) terms)
     = O(n log n)

【讨论】：

对于这种特殊情况，这是直观掌握master theorem 的好方法 :) 该论点也可用于简单的归纳证明

【参考方案2】：

出于某种奇怪的原因，您执行了两次求和。

要拆分和合并大小为 n 的链表，需要 O(n) 时间。递归深度为 O(log n)

您的论点是拆分步骤需要 O(i) 时间并且拆分步骤的总和变为 O(n) 然后您将其称为仅执行一次拆分所花费的时间。

相反，让我们考虑一下，一个大小为 n 的问题形成两个 n/2 问题，四个 n/4 问题，八个 n/8 等等，直到形成 2^log n n/2^logn 子问题。总结这些你得到 O(nlogn) 来执行拆分。 另一个 O(nlogn) 来组合子问题。