具有单位向量约束的非线性优化

Posted 2023-02-22

【中文标题】具有单位向量约束的非线性优化

【英文标题】：Non-linear optimization with unit vector constraint

【发布时间】：2012-10-03 17:06:45

【问题描述】：

我有一个 3x3 矩阵 E，我正在尝试解决这个优化问题：

|| E * t || = minimum

其中 t 是我正在寻找的解决方案，它必须是单位向量（表示为 3x1 矩阵）。 || x ||表示 x 的欧几里得距离。

有没有图书馆可以帮助我解决这个问题？我在各种库中找到了几个求解函数，但我似乎找不到一个可以让我施加额外约束的函数，即 t 必须是单位向量。那么我可以在没有库的情况下以编程方式解决这个问题吗？

【问题讨论】：

对于单位向量，您的意思是单位长度的向量（||t||==1 或集合中的一个(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)？

我的意思是前者，||t|| == 1. 如果不清楚，请见谅。

【参考方案1】：

在我看来像是一个特征向量类型的问题——你的minimum 应该是E 的特征值中最小的绝对值。

对矩阵 E 执行singular value decomposition (SVD)（此操作应作为任何好的线性代数库的一部分提供）。这将为您提供 E 的因式分解：

E =  U diag V*

其中diag 是具有非负对角值的对角矩阵，U 和V 是正交矩阵。

找到diag的最小对角元素； V* 的对应行（或V 的列）是t 的解决方案。

t 的这个值将是一个单位向量，因为 V 是正交的，而结果向量 E t 将是最小的，因为 U 和 V 保留了向量长度。