如何通过给定点（a，b）和（x，0）找到线的最大y截距？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何通过给定点（a，b）和（x，0）找到线的最大y截距？

【英文标题】：How to find largest y-intercept of lines through given points (a, b) and (x, 0)?

【发布时间】：2018-03-10 16:29:20

【问题描述】：

我给了分数(a, b)，然后我给了分数(x, 0)。 现在，对于每个点 (x, 0)，我用所有点 (a, b) 画线（见图）。 对于每个点(x, 0)，我必须返回这些点的索引/点(a, b) 通过该点/点和点(x, 0) 的直线的哪个y 截距最大。 点 (x, 0) 的所有 x 值都大于最大值 a。数字a, b, x 是正整数。

例子：

输入

3 4 (number of (a, b) points and number of (x, 0) points - let's call them m and n)
5 3 (point A, index 0)
14 1 (point C, index 1)
10 2 (point B, index 2)
16 20 40 15 (x values of points (x, 0)) 

输出

1
0 2
0
1

我的解决方案：

int main() 
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    vector<pair<int, int>> pointsAB(m);

    for (int i = 0; i < m; ++i) 
        cin >> pointsAB[i].first >> pointsAB[i].second;
    

    for (int j = 0; j < n; ++j) 
        int currX;
        double minSlope = 1.00;
        vector<int> indexes;
        cin >> currX;
        for (int i = 0; i < m; ++i) 
            int a = pointsAB[i].first, b = pointsAB[i].second;
            double currSlope = -((double)b) / (currX - a);
            if (currSlope < minSlope) 
                indexes.clear();
                minSlope = currSlope;
                indexes.push_back(i);
            
            else if (currSlope == minSlope) 
                indexes.push_back(i);
            
        

        cout << indexes[0];
        for (int k = 1; k < indexes.size(); ++k) 
            cout << " " << indexes[k];
        
        cout << '\n';
    

    return 0;

我对这个问题的解决方案具有时间复杂度 O(m * n) 但这对我来说似乎不是很有效。我的问题是这个问题可以用更好的时间复杂度解决吗？如何解决？

【问题讨论】：

那么您的解决方案是什么是？ m 和 n 是什么意思？在此处发布代码。

@meowgoesthedog 好的，我添加了我的解决方案。 m 是 (a, b) 坐标数，n 是 (x, 0) 坐标数

为什么是循环？最大可能值是无穷大。从您的一组点中选择斜率最大的点。

【参考方案1】：

为 a/b 点构建convex hull，只得到上半部分（真的你只需要上信封的右腿）从最右边的点开始

对 x 点进行排序

复杂度约为O(mlogm + nlogn)（取决于船体和排序方法）

从小值开始依次遍历 x-list，找到 a/b 集合的最佳点。请注意，此过程是线性的O(n+m)（我们将仅在当前点的左侧找到下一个最佳 a/b 点 - 想象旋转摇杆，一端沿 OX 轴移动，另一端位于 a/b 点集上）

【讨论】：

不错的算法。非常聪明。当然，这里的复杂程度适中。如果有很多点就值得了。看起来像是 CS 比赛的问题。

谢谢，非常好的答案。在这篇文章之前，我什至不知道存在像凸包这样的东西。

【参考方案2】：

这里的大部分步骤看起来都相当明显：

阅读要点 读取每行的 X 截距（我是不是刚刚发明了“x 截距”？） 计算线的斜率 选择最小的坡度 找到所有具有该斜率的线 打印结果

我相信所有这些都可以用 O(N) 复杂度来完成，所以总体上应该是 O(N)。

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iterator>

struct point 
    int x;
    int y;

    friend std::istream &operator>>(std::istream &is, point &p) 
        return is >> p.x >> p.y;
    

    friend std::ostream &operator<<(std::ostream &os, point const &p) 
        return os << "(" << p.x << ", " << p.y << ")";
    
;

struct slope_index 
    double slope;
    int index;

    bool operator<(slope_index const &other) const 
        return slope < other.slope;
    

    bool operator==(slope_index const &other) const 
        return slope == other.slope;
    
;

int main() 
    int N;
    std::cin >> N;

    // read in the points
    std::vector<point> points;
    std::copy_n(std::istream_iterator<point>(std::cin), N, std::back_inserter(points));

    // read in the X-intercept for each point:
    std::vector<int> Xs;
    std::copy_n(std::istream_iterator<int>(std::cin), N, std::back_inserter(Xs));

    // compute the slopes
    std::vector<slope_index> slopes;
    int i = 0;
    std::transform(points.begin(), points.end(),
        Xs.begin(),
        std::back_inserter(slopes),
        [&](point const &p, int currX)  return slope_index p.y / double(p.x - currX), i++ ; );

    // find the smallest slope
    auto v = *std::min_element(slopes.begin(), slopes.end());

    // find all the lines with that slope:
    auto pos = std::partition(slopes.begin(), slopes.end(), [&](auto const &s)  return v == s; );

    // print out the results:
    for (auto s = slopes.begin(); s != pos; ++s)
        std::cout << points[s->index];