如何找到给定范围内除以给定数字时具有一定余数的值的数量？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何找到给定范围内除以给定数字时具有一定余数的值的数量？

【英文标题】：How to find the number of values in a given range that has a certain remainder when divided by a given number?

【发布时间】：2019-11-22 19:12:16

【问题描述】：

给定四个整数N, L, R and Rem。我必须找到L and R（含）之间的值的数量，当除以N 时得到余数Rem。

例如：如果N = 3, L = 2, R = 10 and Rem = 1，那么在这个范围内除以3余数为1的数字是4, 7, 10。所以，答案是 3。

这是我编码的蛮力方法：

int main() 
    int N, L, R, Rem;
    cin >> N >> L >> R >> Rem;

    int Ans = 0;
    for (int i = L; i <= R; i++) 
        if (i % N == Rem)
            Ans++;
    
    cout << Ans << endl;

解决这个问题的更好方法是什么？

【问题讨论】：

提示：如果你有两个数字，A 和 B，然后你将它们除以 N，它们的余数相同，然后 A + NC = B 某个整数 C

你必须减少循环，而不是 i++ 使用 i += N

【参考方案1】：

首先，在[0, n)范围内找到此类值的数量：

template<class T>
T count(T n, T div, T rem) 
    assert(rem < div);
    return (n + div - rem - 1) / div;

然后减去，[0, max + 1) \ [0, min) = [min, max]:

template<class T>
T count(T min, T max, T div, T rem) 
    assert(min >= 0);
    assert(min <= max);
    return count(max + 1, div, rem) - count(min, div, rem);

---

显然，它不适用于负值。 OP 将输入指定为整数，而不是正整数。

这个答案假设所有整数都是非负数。原因很简单：我们都同意非负数的余数，但different definitions 存在负数。问题措辞没有说明应该采用哪种定义。例如，在 C++11 之前的 C++ 本身中，如果a < 0 或b < 0，标准将a % b 的结果指定为实现定义。原因在于 / 运算符在为整数操作数定义的方式上存在以下差异：

直到 C++11：

商在实现定义的方向上四舍五入。

C++11 起：

商被截断为零（小数部分被丢弃）。

因此，% 和 std::div 可能会给出不同的结果——在 C++11 之前，后一个函数遵循“丢弃小数部分”的规则。

【讨论】：

显然，它不适用于负值。 OP 将输入指定为整数，而不是正整数。

@ciamej，添加了一些关于否定词的内容。

【参考方案2】：

TLDR大概(R-L+1)/N 取+-1

例如 L=2 R=10 N=3 REM=0

数字是 3,6,9 (R-L+1)/N = (10-2+1)/3 = 9/3 = 3

这是一个准确的解决方案，带有解释，不需要循环

找到第一个大于或等于 L 且能很好地除以 N 的数

L = (L % N == rem)? L : L + (REM - L%N)

找到最后一个小于或等于 R 且能很好地除以 N 的数

R = (R % N == rem)? R : R - (N - (REM - R%N))

结果是

int result = ((R-L)/N) + 1

【讨论】：

显然，它不适用于负值。 OP 将输入指定为整数，而不是正整数。

【参考方案3】：

(R - L) / N 
+ 1 if (R - L) % N ≥ (rem - L) % N