查找数组中的对数，其中 A[i] * A[j] > A[i] + A[j]

Posted 2023-02-22

【中文标题】查找数组中的对数，其中 A[i] * A[j] > A[i] + A[j]

【英文标题】：Finding number of pairs in array where A[i] * A[j] > A[i] + A[j]

【发布时间】：2014-07-17 11:17:39

【问题描述】：

例如如果数组 A 是

A[0] = 0.1
A[1] = 0.6
A[2] = 1.2
A[3] = 1.7
A[4] = 3.5

那么对于 (3,4) 对，我们有 A[3]*A[4] > A[3]+A[4]

我想在一个数组中找到这样对的数量。

还有A[i] = A1 [i] + A2[i]/1,000,000

其中 A1 和 A2 是给定的输入，A1 和 A2 按排序顺序。

用 O(n^2) 算法回答是微不足道的。有人告诉我有 O(n) 解决方案，无需使用额外空间。我正在寻找那个。

【问题讨论】：

O(n) 算法查找排序数组中的对数，其中 A[i]*A[j] > A[i] + A[j]

数字是无符号还是有符号？

@mch 无符号数

我以为我有一个解决方案，首先是重新排列不等式以给出(A[i] - 1) * (A[j] - 1) > 1，但我能想到的最好的解决方案是O(n log n)。我认为这是正确的开始方式。

你认为的 O(nlogn) 解决方案是什么？

【参考方案1】：

x * y > x + y

除以 x*y（对于正值）

1/x + 1/y < 1

让第一个光标 (R) 指向右侧元素（最小 1/a[i] 值），第二个光标 (L) 指向左侧元素。 将 L 向右移动，直到倒数和达到 1。 将 (R-L) 添加到结果中。 步骤 R 向左。 重复移动L，直到R和L相遇

两个光标最多移动N步，所以算法需要O(N)

【讨论】：

为什么我们需要将 R 步向左？我无法理解那一步。能详细点吗？

@Sandeep 寻找更多合适的对 - 当1/a[R]+1/a[L] 超过 1，但 1/a[R-k]+1/a[L+p] 仍小于 1 时

【参考方案2】：

由于问题中没有明确说明，因此我将在以下内容中做出以下两个假设：

镜像对只计算一次（否则，如果 (a,b) 是，则 (b,a) 是另一个有效对，因此会增加有效对的数量） 条目不得使用两次（例如，(3.01,3.01) 不是有效对）

这两个假设都可以通过代码的微小变化来改变。

A 已排序，因为 A1 和 A2 已排序。 举个小例子，如下所示

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main()

   std::vector<double> A(0.1,0.15,0.25,0.29,0.35,0.55,0.65,0.85,1.15,1.44,1.46,1.59,1.88,2.01,2.04,2.05,3.01);
   size_t i=0, j=A.size()-1;
   int result = 0;
   if (A[j] <= 2) return 0;
   while (i != j) 
      if (A[i]*A[j]>A[i]+A[j]) 
        result += j-i;
        cout << A[i] << " to " << A[j] << " for a total of " << result << endl;
        --j;
     else 
        ++i;
    
   
   return 0;

输出 8。http://ideone.com/LaV9Cy

这是O(n)，因为A[i+1] > A[i] 有效，因此如果第二个> 成立，则(A[i+1] - 1) * (A[j] - 1) > (A[i] - 1) * (A[j] - 1) > 1。因此，我们可以简单地将我们找到的两个极值 (result += j-i;) 之间的元素数量相加，而不是单独尝试所有这些。

【讨论】：

我也有类似的想法。但是，我使用0.1,0.15,0.25,0.29,0.35,0.55,0.65,0.85,1.15,1.44,1.46,1.59,1.88,2.01,2.04,2.05,3.01 尝试了您的解决方案。不工作。结果应该是 20，但你的结果是 8。

@DavidWallace 好问题。出于某种原因，这对我来说更直观 xD 我可能已经习惯了看到迭代器。你也可以使用i 和j。

@gexicide 8 是第一个 += p2-p1 将给出的数字（1.15 和 3.01 之间的元素），第二个将给出另外两个（2.01 到 @987654339 @)。如果你想要对称对（因为 (a,b) = (b,a) 有效地计算每对两次）并且你有 20 个，你可以将它乘以 2。

@example：“第二个会给另外两个”是什么意思？简单地复制粘贴您的算法会产生 8，这是错误的。因此，您的代码似乎不包含“第二个”。

我有一个奇怪的怀疑，增加 result 的那一行应该是 result += p2 - p1 + 1; 但我现在不确定 - 因为我对这个问题有很多错误的想法。