生成排列的算法的复杂性

Posted 2023-02-22

【中文标题】生成排列的算法的复杂性

【英文标题】：Complexity of the algorithm that generates permutations

【发布时间】：2015-04-07 16:57:55

【问题描述】：

我很难理解如何确定该算法的时间复杂度（用 Python 编写，但适用于任何语言）：

def permutazioni(list):
    n = len(list)
    if n == 1 or n == 0: 
        return [list]
    else:
        risult = []
        for i in range(n):
            primo = list[i]
            listaDegliAltri = list[:i] + list[i + 1:]  
            perms = permutazioni(listaDegliAltri)
            for perm in perms:
                risult.append([primo] + perm)
    return risult

此过程将一个序列作为输入，并作为结果返回一个序列序列，该序列包含起始序列的所有可能排列的集合。

例子：permutations([a, b, c]) = [[a, b, c], [a, c, b], [b, a, c], [b, c, a], [c, a , b], [c, b, a]]

现在，要确定复杂性，我必须编写并求解递推方程。 当列表长为 0 或 1 时，不进行任何操作。 否则，您将运行 n 次迭代循环，其中每次迭代都会在一个元素短于 (n-1) 的列表上调用函数，然后运行内部长n-1。

教授接着写道：

T(0) = T(1) = 1（1为什么？是退货的成本还是其他？）

T(n) = n*(T(n-1) + (n-1)) 对于 n>1

然后他说选择下界然后写（以后什么都不懂）：

T(n) > n*T(n-1)

来自：

T(n) > nT(n-1) > n(n-1)T(n-2) > n(n- 1)*(n-2)*T(n-3)> ... > n!

即：

T(n) = Ω(n!)

我不明白，因为它消除了 (n-1) 并且因为它使用了大调而不是等号。所以我什么都不懂。 有人给我解释一下就知道了？ 谢谢

【参考方案1】：

这只是很多容易出错但非常基本的代数。

M(1) 和 M(0) 为 1 的原因是因为如果您有一个包含 1 个或零个元素的列表，那么该列表本身就是它的唯一排列。例如1 只有一个排列， 也是如此。所以 1 本身与所做的工作无关，但实际上只有一个排列。但也确实，你只是简单地返回它，所以你可以这样想。

现在是更有趣/无聊的部分。

如果你接受

T(0) = T(1) = 1

T(n) = n*(T(n-1) + (n-1)) 对于 n>1

剩下的就是繁琐的代数了。所以首先说 T(n-1)=T(k)。所以

T(n) = n*((k*(T(k-1) + (k-1))) + (n-1))

T(n) = n*(((n-1)*(T(n-1-1) + (n-1-1))) + (n-1))

T(n) = n*((k*(T(n-2) + (n-2))) + (n-1))

T(n) = n^3 + n^2*T(n-2) - 2n^2-n*T(n-2)+n：这只是代数展开.

如果你替换T(n-2)，然后用T(k)替换T(n-3)，你会看到阶乘模式出现，即n! = n*(n-1)！

【参考方案2】：

您的教授可能应该写成 T(0) = T(1) = Theta(1)，这意味着在这些情况下它需要恒定的时间，但是仅仅放置一个像 1 这样的固定常数通常不会改变渐近线。至于其他的，如果你相信的话

T(n) = n*(T(n-1) + Theta(n-1)) 

（我再次使用 big-Theta 来强调在计算操作时可能存在隐藏的常数乘数），那么您显然明白了

T(n) > n*T(n-1)

因为你减去了正项 Theta(n-1)。其余的遵循阶乘的定义。