这个计算 a^n 的算法是如何被重写以在 O(log n) 时间内运行的？

Posted 2023-02-22

【中文标题】这个计算 a^n 的算法是如何被重写以在 O(log n) 时间内运行的？

【英文标题】：How did this algorithm for computing a^n get rewritten to run in O(log n) time?

【发布时间】：2013-10-07 06:15:02

【问题描述】：

假设你想计算一个ⁿ。一个简单的算法会将a、n乘以如下：

result = 1;
for(int i =1; i <= n; i++)
    result *= a; 

该算法需要 O(n) 时间。不失一般性，假设n=2^k

您可以使用以下方案改进算法：

 result = a;
 for (int i = 1; i <= k; i++)
     result = result * result; 

该算法需要 O(log n) 时间。对于任意的n，可以修改算法，证明复杂度还是O(logn)

好糊涂，那n=2^k怎么算，为什么第二个例子中只显示了k？不明白这如何转化为 O(logn) 时间复杂度...

【问题讨论】：

拜托，您能否在一开始就说明该算法试图解决的问题是什么？这听起来很像家庭作业……

这可能有助于理解您正在考虑一种特殊情况，其中 n 是 2 的幂。在这种特殊情况下，您可以更有效地实施例程。

@nyarlathotep 不是家庭作业，而是教科书中的一个例子，没有解释为什么会这样。

不失一般性，假设 n=2^k。 这是很多失一般性。

【参考方案1】：

第二种算法在一般情况下不起作用；它仅在存在一些 k 以便您可以编写 n = 2^k 时才有效。如果有 k 可以做到这一点，那么通过取等式两边的对数，你会得到 log₂ n = k。因此：

循环计数为 k，运行 O(log n) 次。 因此，循环运行时间为 O(log n)。

如果你想摆脱神秘的k，你可以写

int result = a;
for (int i = 0; i < log2(n); i++) 
    result = result * result;

这更清楚地在 O(log n) 时间内运行，因为循环运行 log₂ n 次，并且每次迭代都运行 O(1)。

我认为“不失一般性”说 n 是 2 的完美幂是不公平的，因为并非所有数字都是！上面的代码只有在 n 是 2 的幂时才有效。您可以使用 repeated squaring algorithm 将其推广到非二次幂，它具有 O(log n) 复杂度但适用于任何幂。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

@templatetyedef 很棒的答案！谢谢你这么清楚！！我不知道为什么教科书对初学者来说不能更明确一点！再次感谢！