确定给定点是不是在多边形内

Posted 2023-02-22

【中文标题】确定给定点是不是在多边形内

【英文标题】：determine if a given point is inside the polygon确定给定点是否在多边形内

【发布时间】：2011-03-07 18:59:29

【问题描述】：

给定一个凸多边形作为 n 个顶点的逆时针列表，给出 O(lgn) 算法来确定给定点是否在多边形内。假设基本操作需要 O(1)。

我认为一个方向是：如果一个点在一个凸多边形内，那么这些点与所有顶点或边缘之间的特殊关系是什么？另外，我猜这里的诀窍是使算法 lgn 的凸多边形。

【问题讨论】：

这里有一个提示，如果它在外部，则从该点向多边形绘制一条无限线，如果在内部，则在任何方向上绘制一条无限线，这条线有多少个交叉点？我相信这会回答你的问题。

@Jesus Ramos：该算法适用于任何多边形（不仅仅是凸多边形），它是O(n)。在这种情况下，重点是通过使用多边形是凸的事实来提出O(lg n)算法。

@Jesus，我错过了什么吗？ AFAIK，你的建议是O(n)，而不是O(log(n))。

见：erich.realtimerendering.com/ptinpoly

@Bart Andrey 的回答是我得到的提示，我通常不喜欢透露这类问题的答案，我喜欢让人们思考一下。

【参考方案1】：

我所知道的这个问题的唯一解决方案需要O(n)多边形预处理时间。然后在O(lg n) 时间处理针对预处理多边形的每个查询点。

只需在多边形内取一个点P（我们称之为“极点”），然后为每个顶点绘制一条从P 射出并穿过顶点的射线。认为这是一个极坐标系，原点位于P，整个极平面被这些射线细分为多个扇区。现在，给定您的查询点，您只需要将其转换为以我们极点P 为原点的极坐标。然后只需执行二进制搜索以确定包含查询点的特定扇区。扇区内的最终内部/外部检查（点与边缘测试）是一个微不足道的O(1) 操作。每个查询都在O(lg n) 处理二进制搜索所需的时间。

这种方法实际上适用于更大类别的多边形，而不仅仅是凸多边形。它涵盖了所谓的星形多边形类别，即具有一个点的多边形，从该点可以“看到”或“观察”多边形的整个内部。

O(n)的预处理时间来自于需要提前确定极点位置。

P.S.我不得不考虑更一般的情况。如果你的多边形是凸的，你可以简单地使用它的任何顶点作为极点。这样您就可以立即获得O(lg n) 算法，无需预处理。

【参考方案2】：

您可能想查看此链接，了解如何确定一个点是否在复杂多边形内的详细信息，包括示例 (c) 代码。

http://alienryderflex.com/polygon/

【参考方案3】：

点位于多边形内的条件是该点应位于所有线段的同一侧。您应该使用构成多边形的每条线段检查相关点的距离的 符号 - 如果所有符号都相同，则该点位于多边形内部。谷歌搜索应该会给你很多算法。

【讨论】：

但那是O(n) 算法，而不是O(log(n)) 算法。

不满足要求，因为它是O(n) 复杂度。