如何找到解决所有 N 个问题所需的最短时间？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何找到解决所有 N 个问题所需的最短时间？

【英文标题】：How to find the minimum time required to solve all N problems?

【发布时间】：2015-05-22 17:33:13

【问题描述】：

我试图解决这个问题，但即使过了几个小时我也无法解决 完全理解问题。我什至无法上来 使用任何蛮力技术。这就是问题：

有 N 个成员和 N 个问题，每个成员必须准确解决 1 个问题。团队中只允许一名成员阅读 在任何人开始解决之前的问题陈述。

请注意，并不是每个人一开始都阅读过这些问题。所以，要解决 成员需要知道某个队友的陈述的问题 已经认识他们了。知道问题一次后，会员才有资格 向其他队友解释（一次一位队友）。你可以 假设解释（1或N个问题）总是需要D 分钟。在解释过程中，两名涉事成员都不会 可以做任何其他事情。

问题具有不同的难度级别。你可以假设它 将花费 Ti 分钟来解决第 i 个问题，无论哪个 会员解决了。

给定一个团队的数据，他们最少可能需要多少时间 能解决所有问题吗？

输入

N  D
2 100

T=[1 2]

Output

102

允许成员 1 在开始时间之前知道问题。他开始 比赛开始时向成员 2 解释问题。解释结束于 第 100 分钟。然后他们俩立即开始解决 并行的问题。成员 1 在第 101 分钟解决了第一个问题 成员 2 在第 102 分钟解决了第 2 个问题。

解码这类问题并解决它的最佳方法是什么？

【问题讨论】：

N 可以有多大？我们可以选择谁在开始时间之前了解所有问题，还是总是成员 1？

@IVlad N≤3×10^3 。是的，我们可以选择任何成员..不一定是 1..

问题陈述没有多大意义。鉴于您陈述的条件，解决所有问题总是需要D + N 分钟。现在，如果成员可以在向他解释问题后立即开始解决问题（即他不必等待所有问题都得到解释），那么您就有了要解决的问题。

@JimMischel 但是一个成员只能解决一个问题，一旦他解决了问题，他就必须坐 Idle 。所以我们需要确保在最短的时间内解决所有问题。

【参考方案1】：

这让我想起了Huffman coding。

我不确定以下方法是否最佳，但在实践中它可能会给出一个很好的答案。

选择最简单的两个问题 T0 和 T1，并将它们替换为由时间 D+max(T0,T1) 组成的单个问题。 重复直到剩下一个问题

如果将问题存储在二进制堆中，则可以在 O(logN) 中找到两个最简单的问题，因此总体而言这是 O(NlogN)。

示例

假设我们有 1,3,4,6 和 D=2。

我们首先将 1 和 3 组合成 2+max(1,3)=5。新列表是 4,5,6

然后我们将 4 和 5 结合起来，使 2+max(4,5)=7。新列表是 6,7。

然后我们将 6 和 7 组合成 2+max(6,7)=9。

这表示以下过程。

t=0 A shares with B
t=2 A starts problem 6, B shares with C
t=4 B starts problem 4, C shares with D
t=6 C starts problem 3, D starts problem 1
t=7 D finishes
t=8 A finishes, B finishes
t=9 C finishes

【讨论】：

其实我到现在也没找到反例，你有吗？如果事实证明这是最优的，那就太好了。

我没有反例，我只是没有勇气尝试证明......

那么我们是否需要对时间进行排序并使用贪心策略求解，即先求解最高执行时间，然后再求解第二高，等等？？

不完全是，它更像是一种贪心策略，最后解决两个最短的任务（其中一个任务要么是原始问题之一，要么是已经合并的问题的组合）

@PeterdeRivaz 为什么我们不能对时间 T 进行排序以获得两个最简单的问题。这需要 O(n^2lohn) 时间，因为我们必须在每次合并两个最简单的问题后进行排序。

【参考方案2】：

团队的每个成员（阅读问题的人除外） 必须听到问题。也就是说，问题必须被告知N - 1 次。 对于N = 2，这可以在D 分钟内完成， 对于2 < N <= 4 在2D 分钟， 对于4 < N <= 8 在3D 分钟等。

如果N 不是 2 的精确幂，那么有些人必须说完 问题至少比其他人早D 分钟。 提早完成的人可以继续工作 最难的问题，把更容易的问题留给后来完成的问题。

如果某些问题需要时间Ti > D 和N 都不是精确的 2 的幂，也不小于 2 的精确幂，您可能想要 有人比D 分钟前停止告诉问题更多 最后的问题讲完了。

如果有些问题需要时间Ti > 2D那么你可能需要考虑 让一些人停止讲述问题并开始研究真正的问题 即使N 是 2 的精确幂，也能尽快解决难题。

由于解决一个问题是每个成员的关键路径， 但讲述在多个成员的关键路径中， 任何人在完成之前解决问题都是没有意义的 他们将要解决的所有问题。 每D分钟后知道问题的人数 讲问题的人数增加。 讲问题的人数增加了讲问题的人数 正在讲述问题（即，刚刚学会了 问题）减去当时开始解决问题的人数。

一个好的“蛮力”方法可能是对问题进行排序 按难度；然后找出最后一个人听到的时间 如果在此之前没有人开始处理这些问题； 找出最后一个人何时结束； 然后尝试提前D 分钟或2D 分钟开始问题， 或3D 分钟等，但永远不要启动较短的运行 在一个运行时间较长的问题之前出现问题。

【讨论】：

“团队的每个成员......必须听到问题”---不。第一个成员实际解决所有问题而不是描述可能会更快。

@Petr - 不，问题陈述说每个成员必须解决一个问题。

哦，抱歉，没注意到这个

Peter de Rivaz 的解决方案在大多数情况下看起来像是一个很好的启发式方法，我试图找到一个反例但没有成功。我的猜测是这将是最好的答案。

【参考方案3】：

问题陈述对解释部分有些模棱两可。根据语句的解释方式，可能有以下解决方案：

如果你假设你可以在 D 分钟内解释 N 个问题，那么解释一个问题需要 N/D 分钟。让我们称之为Te，表示“解释时间”。而解决问题i 的时间是Ti，我们知道它等于i 分钟。

所以在比赛开始时，成员 1（知道所有问题）向成员 2 解释问题 N。这需要 Te 分钟。然后成员 2 开始处理问题 N（需要 N 分钟解决），成员 1 开始向成员 3 解释问题 N-1。这种情况一直持续到成员 1 向成员 N 解释问题 2。此时，成员 N 开始处理问题 2，成员 1 开始处理问题 1。

假设有 4 个问题、4 个团队成员和D=8。所以Te=2。

Time    Description
 0      Member 1 begins explaining Problem 4 to Member 2
 2      Member 2 begins working on Problem 4
        Member 1 begins explaining Problem 3 to Member 3
 4      Member 3 begins working on Problem 3
        Member 1 begins explaining Problem 2 to Member 4
 6      Member 2 completes problem 4
        Member 4 begins working on Problem 2
        Member 1 begins working on Problem 1
 7      Member 3 completes Problem 3
        Member 1 completes Problem 1
 8      Member 4 completes Problem 2

无论D 或N 的值如何，这似乎都是最佳解决方案：安排它以使解决时间最长的问题尽早开始。

我怀疑问题陈述是用其他语言给出的问题的英文翻译，或者可能是对最初用英语编写并翻译成其他语言的内容的重新翻译。因为如果那是最初的问题陈述，那么写它的人应该被禁止再写问题。

【参考方案4】：

完成任何一项任务所需的时间长度似乎是C * D + T, where C is a positive integer less than N 的形式，并且必须考虑所有N-1 的提前期。假设我们犯了一个错误，而最佳解决方案实际上应该有一个任务加上更长的交货时间——所以有些C * D + Tj < C * D + Ti, where Ti < Tj，这是不可能的。

因此，对对的总和进行一次迭代（假设输入已排序）：

solution = maximum (T2 + (n-1) * D, T3 + (n-2) * D...D + Tn)