如何在假币算法中称重

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何在假币算法中称重

【英文标题】：How to Weigh in Fake Coin Algorithm

【发布时间】：2017-03-21 22:23:43

【问题描述】：

我正在尝试为假币问题开发 C++ 代码。我正在使用一个长满 1 和一个随机 0 的二进制数组 n 来表示假硬币。当我将数组分成两半来比较权重时，如何确定每一边的权重？

我可以很容易地计算每个数组中 1 的数量，但这将是一个线性运行时间。整体算法应该是次线性的。

有没有办法在常数时间内确定每个数组的权重？

披露：这是一项学校作业，因此希望您可以在不给出完整答案的情况下给出提示。

【问题讨论】：

这更像是一个数学问题而不是一个软件问题。最好在数学 QA 处提问。

geeksforgeeks.org/decision-trees-fake-coin-puzzle 这解释了你的问题。看起来最佳解决方案是 log3(N)，它是次线性的

你有错误的数据结构。您的数据结构应该有一个秘密编号 - 假币的 id，仅此而已。然后您可以回答“coin_set1 比coin_set2 重？”这样的问题。在 O(1) 中。

【参考方案1】：

作为一名学生，我会坚持这一点，因为您计算每 一半 中 1 的数量，并且您正在有效地使用这种方法：

减少和征服

因此，您实际上是在称重 O(log₂ n) 次，这使得算法是次线性的。

我的观点是，优化算法的是您正在执行的称量次数及其有效空间（一半与总数）。

阅读此 CS session 中的更多信息，其中建议如果您在 3 处拆分，您可以做得更好并达到 O(log₃ n)。但是，如果您对此不熟悉，那么现在分成两半就可以了！ =)

---

如果你想玩弄一些代码，你可以使用std::bitset，它提供了count()，它返回位集中1的数量。

【参考方案2】：

我可以很容易地计算每个数组中 1 的数量，但这将是线性运行时间。整体算法应该是次线性的。

我认为你在这里弄错了。 整个算法不可能可能是次线性的，原因很容易理解：要读取每个硬币至少需要线性时间，因为显然有线性数量的硬币的数量。很明显，如果不至少阅读每枚硬币一次，您就无法找到假硬币。 （更严格地说，您需要阅读所有硬币，除了一个至少一次，但这仍然是线性的。）

因此，其他答案和 cmets 的建议是，您需要称重硬币的次线性次数，我倾向于同意这一点。

如果您仍想更快地执行比较（即对范围求和），则有一个名为 Fenwick tree 的数据结构，它允许您以对数时间计算子范围和，但仍需要线性时间来构建。但是请注意，我认为将它用于您的任务在复杂性（它可能比您当前的水平更高级）和性能奖励（只有在您将要拥有许多range 查询在您的阵列上运行并且您将更改您的阵列）。

还请注意，wiki 文章的第二段建议了一种简单的算法，该算法只需要线性时间进行初始化，然后在恒定时间内计算前缀和（以及范围和）：只需再创建一个前缀和为的数组您的硬币（如果您不再需要它，甚至可以就地更新原始硬币）。显然RangeSum(a,b) = PrefixSum(b) - PrefixSum(a-1)（其中PrefixSum(-1) 为0）。如果你想炫耀，实现这个可能是有意义的，但在 Big-O 方面仍然没有性能奖励。