修改 Dijkstra 算法以处理具有多个可能成本的边

Posted 2023-02-22

【中文标题】修改 Dijkstra 算法以处理具有多个可能成本的边

【英文标题】：Modifying Dijsktra's algorithm to work with edges having more than one possible cost

【发布时间】：2014-04-29 23:09:13

【问题描述】：

我们有一个有向加权图，其中两个节点之间的边可以有多个可能的成本值（更准确地说，最多 2 个成本）。我需要使用 Dijkstra 算法的时间相关变体，它可以处理从一个节点到另一个节点的两种可能方式，节点之间的成本（边缘成本）取决于我们到达源节点的时间和我们将要使用的边缘类型。当从一个节点遍历到另一个节点时，只会选择这些边中的一条，并将其成本添加到相同的总成本中。

我目前将一条边的两种可能成本建模为同一节点之间的两条独立边。

我发现here 有一个类似的问题，建议通过复制节点来扩充图形。但是，这不允许返回到原始图，并且意味着复制所有节点以及它们与原始节点之间可能的边的开销。

对于如何以尽可能少的开销解决这个问题，您有什么建议吗？ （原图预计会很大）

谢谢

编辑： 我在第一段中提供了有关该问题的更多详细信息

【问题讨论】：

“两个成本”是指有两条边可供选择，还是有两个单独的成本沿路径相加？

你有办法知道遍历时的成本状态吗？

您为什么会选择成本更高的优势？

【参考方案1】：

出于算法目的，您可以放心地忽略这两个成本中最大的一个。

假设有一条最短路径在两个顶点之间使用最大成本，您可以将其更改为使用最小成本并且路径将成本更低，这与假设相矛盾。

【讨论】：

如果这两个成本是“非此即彼”，那么我完全同意。但是，OP 可能正在讨论一个不同的问题，即每条边上有两个独立的成本被添加到不同的总数中，在这种情况下这不起作用。

我以前读过你的评论，但对我来说没有多大意义。在后一种情况下，是否可以选择只有一个成本的优势（正如他所说，他们最多可以有两个成本）？它应该最小化哪些成本？我认为假设前一种解释是安全的。

我想到的解释（因为我曾经看到过类似的问题）是每个边成本都是某个东西的函数，比如时间，或者已经访问过哪些其他边/顶点。在那种情况下，事情会更复杂。

【参考方案2】：

我认为你可以破解 Dijsktra 的algorithm 的第 3 步：

对于当前节点，考虑其所有未访问的邻居并计算它们的暂定距离。将新计算的暂定距离与当前分配的值进行比较，并分配较小的那个。例如，如果当前节点 A 的距离为 6，连接它与邻居 B 的边的长度为 2，那么到 B（通过 A）的距离将为 6 + 2 = 8。如果 B 之前是标记的距离大于8，然后将其更改为8。否则，保持当前值。

在您的设置中，您有两个从 A 到 B 的距离，具体取决于时间有多晚。如果您当前到 A 的距离高于您的时间阈值，则使用第二个。

这一步变成：

if current distance to A above threshold :
    current distance to B = min(current distance to B, current distance to A + d2(A, B)) 
else:
    current distance to B = min(current distance to B, current distance to A + d1(A, B))