简单循环时间复杂度内的递归函数

Posted 2023-02-22

【中文标题】简单循环时间复杂度内的递归函数

【英文标题】：Recursive function inside a simple loop time complexity

【发布时间】：2019-08-13 17:42:23

【问题描述】：

为什么在for循环中调用递归函数会导致O(2^N)的时间复杂度而不是O(N 2^N)下面这段代码。基于CTCI一书。

void allFib(int n)
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        System.out.println(i + ":  "+  fib(i)); 
    


int fib(n)
    if  (n  <=  0)  return 0;
    else if  (n  ==  1)  return 1; 
    return fib(n - 1)  +  fib(n -2);

【问题讨论】：

因为只取了最大的部分。同样的原因，两次遍历数组会给出O(n) 复杂性而不是O(2n) 复杂性。 2 被丢弃。

@MichaelBianconi - 然后使用您的逻辑（完全按照说明）O(n Log n) 呢？

@MichaelBianconi 这是不正确的。在大 O 表示法中，您删除所有常量，但 O(2^n) 和 O(n * 2^n) 存在差异。您不能忽略非常数乘数。

@MarkRotteveel 哈哈，这不是因为 n 大，而是因为 2^0+2^1+...+2^(n-1) 小于 2^n。非常量因素无论大小都不应被忽略

@MarkRotteveel n 术语在 O(n logn) 中支配 log n。我们不会删除 log n 术语，我们也不应该将其删除

【参考方案1】：

将递归函数想象成树中的计算值。

        fib(n)
         /\
        /  \
 fib(n-1)   fib(n-2)

如果您仔细查看n = 2，则需要计算3 值，即2^(1+1) - 1 = 3，其中1 是树的高度，如in2^(h+1)-1

对于n = 3，高度为h = 2

对于n = 4，高度为h = 3

对于所有n，您需要添加所有这些： 2^2 - 1 + 2^3 - 1 + 2^4 - 1 + ....2^n - 1 -> 是2^(n+1) 的顺序

因此你得到O(2^n)