给定一些整数范围，从每个范围中找到一个包含至少一个整数的最小集合

Posted 2023-02-22

【中文标题】给定一些整数范围，从每个范围中找到一个包含至少一个整数的最小集合

【英文标题】：Given some integer ranges, finding a smallest set containing at least one integer from each range

【发布时间】：2013-02-21 14:40:47

【问题描述】：

我怎样才能找到一组最小数量的整数，使得对于某些给定的整数范围，对于每个范围，该集合至少包含一个整数。例如，如果给我这些范围：

[0, 4], [1, 2], [5, 7], [6, 7], [6, 9], [8, 10]

然后一些解决方案集是： 1, 6, 8 , 2, 7, 9 , 1, 7, 8 等。

【参考方案1】：

假设您绘制所有范围，按最终值排序，就像您在日程安排器中绘制会议一样。

您可以以贪婪的方式直观地选择您的数字，这样第一个就是最先完成的段（在您的示例中，这将是 2）。

然后删除所有包含该数字的段，然后重新开始。

这个算法将产生解决方案 2, 7, 10

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
   ----
-------------
      ^        -------
      |           ----
                  ----------
                     ^  -------
                     |        ^
                              |

【参考方案2】：

算法： 对起点和终点进行排序。越过它们，直到遇到端点。将其添加到答案中并删除所有起点已经通过的范围（即包含当前端点的范围）。重复，直到剩下一点。

示例：

[0, 4], [1, 2], [5, 7], [6, 7], [6, 9], [8, 10]

排序后会变成

[0, [1, 2], 4], [5, [6, [6, 7], 7], [8, 9], 10], ans = []

第一个端点是2]，我们将它添加到ans 并删除在它之前打开的范围，即[0 和[1：

[5, [6, [6, 7], 7], [8, 9], 10], ans = [2]

现在第一个端点是7]，我们删除范围[5, 7], [6, 7], [6, 9]：

[8, 9], ans = [2, 7]

最后添加9 并删除最后一个范围。结果将是[2, 7, 9]。

复杂性：

排序将花费 O(nlogn) 时间，之后您将传递每个元素两次：一次是在寻找下一个端点时，一次是在删除所有当前打开的间隔时，这是线性的，总复杂度将为 O(nlogn)这来自排序。

【讨论】：

除了将起点和终点排序在一起，我们还可以这样做：根据终点对 (start, end) 对进行排序。然后从头开始扫描。首先，我们存储第一对的端点，并将其添加到解决方案集中。然后，只要对的起点低于存储的端点，我们就向前扫描。每当我们找到一个起点大于该存储点的对时，我们将该对的端点添加到解决方案集中，并存储该端点以代替先前存储的点。我们继续这个处理直到最后一对。

【参考方案3】：

我们按结束数字对区间进行排序。对于任何一个区间，如果它的起点不大于前一个终点，（由于区间已经排序，终点不小于前一个终点），那么我们在前一个终点有重叠，可以跳过这个区间。如果当前区间的开始大于前一个结束，我们没有重叠，将当前结束添加到结果集中。

考虑区间(0, 3), (2, 6), (3, 4), (6, 10)。排序后，我们有(0, 3), (3, 4), (2, 6), (6, 10)。我们从result = [3] 和previous = 3 开始。由于3 <= previous，我们跳过了区间(3, 4)； previous 保持不变。由于2 <= previous，我们跳过区间(2, 6)； previous 保持不变。最后，由于6 > previous，我们将10 添加到结果中，并更新previous = 10。算法终止；答案是[3, 10]。

时间复杂度：n log(n)，其中n 是区间数。