罗德里格斯到欧拉角，反之亦然

Posted 2023-02-21

【中文标题】罗德里格斯到欧拉角，反之亦然

【英文标题】：Rodrigues into Eulerangles and vice versa

【发布时间】：2012-10-07 15:35:56

【问题描述】：

我正在使用solvePnP，我得到了一个平移向量。 现在我需要将一些欧拉角与solvePnP的结果进行比较。 我想/需要将欧拉角转换为“罗德里格斯”；

solvePnP 的平移向量是否等于欧拉角。 翻译矩阵是唯一与罗德里格斯有关的东西吗？ 还是有与 3 个欧拉角完全不同的特殊罗德里格斯角？ 两者之间的数学如何？ 有没有我找不到的 OpenCV 函数？

【参考方案1】：

首先，忘记translation向量，因为它与rotation无关：平移移动物体，旋转改变它们的方向。

Rodrigues 参数也称为axis-angle rotation。它们由 4 个数字 [theta, x, y, z] 组成，这意味着您必须围绕单位矢量 v=[x, y, z] 描述的轴旋转一个角度“theta”。 查看cv::Rodrigues 函数参考，似乎OpenCV 使用罗德里格斯符号的“紧凑”表示作为具有3 个元素rod2=[a, b, c] 的向量，其中：

旋转角度theta是输入向量theta = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)的模 旋转轴v是归一化的输入向量：v = rod2/theta = [a/theta, b/theta, c/theta]

因此，solvePnP 中的 Rodrigues 向量与 Euler angles 表示法没有一点关系，Euler angles表示围绕 X、Y 和 Z 轴组合的三个连续旋转。

如何比较两个旋转？这是一个很好的问题。 Euler 和 Rodrigues 表示都有奇点和其他问题。例如，如果您比较两个欧拉燕鸥或两个罗德里格斯参数，它们可能看起来完全不同，但实际上表示几乎相同的旋转。 如果您只需要检查两个旋转是否相同（或近似），您可以按照下一个方法：

将两个旋转都转换为矩阵表示法（四元数也有效） OpenCV Rodrigues 向量可以使用cv::Rodrigues 函数转换为矩阵 欧拉转矩阵，建议你去euclideanspace.com的conversions section看看 “减去”一个旋转从另一个旋转，即将一个旋转与另一个旋转连接 使用旋转矩阵，将一个矩阵乘以另一个矩阵的转置（反向旋转）。空旋转是单位矩阵。 使用四元数，将一个乘以另一个的复共轭（取反最后三个分量）。 检查结果是否接近零旋转： 空旋转矩阵是恒等式。 空四元数在第一个组件中包含 1 或 -1

【讨论】：

你拯救了我的一天！！！ theta = sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 和 v = rod2/theta = [a/theta, b/theta, c/theta] 正是我正在寻找的函数......谢谢跨度>

【参考方案2】：

添加到@dunadar 的出色答案：

Rodrigues 将rvec 转换为旋转矩阵 R（反之亦然）。您可以直接使用 R，就像使用由欧拉角构造的旋转矩阵一样，通过将点积与您正在旋转的（平移）向量进行运算：v_rotate = R*v

您可以将 Rodrigues 旋转矩阵转换为欧拉角，但有多种解决方案。原因是欧拉旋转的顺序（俯仰、偏航、滚动）很重要，因此有不止一种方法可以表示罗德里格斯旋转。见：http://www.staff.city.ac.uk/~sbbh653/publications/euler.pdf

【讨论】：

这是实现 R->euler 的更好参考（处理小数字的精度问题）。 d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2012/07/…

【参考方案3】：

添加更具体的答案以补充此处的其他答案。如果你想要一个方向向量而不是欧拉角，这个过程确实可以通过矩阵乘法来简化，这里有一个快速的解决方案：

// The output is a direction vector in OpenGL coordinate system:
// +X is Right on the screen, +Y is Up, +Z is INTO the screen
static Vector3 ToDirectionVectorGL(const Mat& rodrigues1x3) noexcept

    Mat rotation3x3;
    cv::Rodrigues(rodrigues1x3, rotation3x3);

    // direction OUT of the screen in CV coordinate system, because we care
    // about objects facing towards us - you can change this to anything
    // OpenCV coordsys: +X is Right on the screen, +Y is Down on the screen,
    //                  +Z is INTO the screen
    Vec3d axis 0, 0, -1 ; 
    Mat direction = rotation3x3 * Mat(axis, false);

    // normalize to a unit vector
    double dirX = direction.at<double>(0);
    double dirY = direction.at<double>(1);
    double dirZ = direction.at<double>(2);
    double len = sqrt(dirX*dirX + dirY*dirY + dirZ*dirZ);
    dirX /= len;
    dirY /= len;
    dirZ /= len;
    // Convert from OpenCV to OpenGL 3D coordinate system
    return  float(dirX), float(-dirY), float(dirZ) ;

如果您将其用于头部姿势估计，请确保在 0,0,0 周围正确形成 Rodrigues 1x3 旋转，否则您可能会得到奇怪的结果。