如何确定完整二叉树中给定子树中叶子的索引？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何确定完整二叉树中给定子树中叶子的索引？

【英文标题】：How to determine the indexes of the leaves in a given subtree in a complete binary tree?

【发布时间】：2021-12-10 23:12:01

【问题描述】：

我有一个数组表示法的完整二叉树（宽度优先）：

[15, 10, 5, 3, 7, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0]

所以所有叶子的索引是：7、8、9、10、11、12、13、14。

对于每个内部节点，我需要返回其子树中叶子的索引：

节点 15：

7、8、9、10、11、12、13、14

节点 10：

7、8、9、10

节点 5：

11、12、13、14

节点 3：

7、8

节点 7：

9、10

节点 5：

11、12

节点 0：

13、14。

是否存在任何公式？

【问题讨论】：

数组如何描绘一棵树？逻辑是什么？ 19 怎么可能是这个数组中的索引？为什么索引 8 处的叶子同时是节点 3 和节点 7 下方的叶子？

对不起 19，现在是 9。

零元素 (15) 是根，第一个 (10) 和第二个 (5) 是根的子元素。第三个 (3) 和第四个 (7) 是第二个元素的子元素，依此类推。因此，叶子是：1、2、3、4、5、0、0、0，它们的索引是7、8、9、10、11、12、13、14。

那么为什么索引 8 既是节点 3 和节点 7 下方的叶子呢？

好的，它是否总是一棵完美树？还是底层不能完全填满？

【参考方案1】：

由于数组表示一棵完美的二叉树，即所有内部节点都有 2 个子节点，并且所有叶子都位于相同的深度，因此数组长度将始终是 2 的幂减 1。在示例中它是 2⁴-1。那个力量就是树的层数……比树的高度多一。我们称高度为ℎ，那么输入数组的大小为2^ℎ+1-1。

我们可以使用 position 数字的二进制表示。位置我的意思是 index 加 1。所以根的位置是 1，它的子节点的位置是 2 和 3。使用 ℎ+1 二进制数字以二进制表示形式表示每个位置。因此，对于示例输入，您将使用 4 位数字。要知道给定位置以下叶子的位置范围，请查看位置编号中有多少个前导零。

例如，取位置 3（示例树的值为 5），即 0011 二进制 4 位数。它有 2 个前导零。

现在删除那些前导零。例如，我们得到二进制 11。

现在完成这些数字在右边与任何数字再次有4个数字。这表示叶子的位置范围。在示例中：1100 到 1111。然后您可以将其转回十进制并减去 1 以获得索引：11,12,13,14。

这是一个表格，用于对示例中的所有内部节点进行此计算：

Index	Value	Position	Position (binary)	Shift	Range	In decimal	Indices
0	15	1	0001	1***	1000-1111	8-15	7-14
1	10	2	0010	10**	1000-1011	8-11	7-10
2	5	3	0011	11**	1100-1111	12-15	11-14
3	3	4	0100	100*	1000-1001	8,9	7,8
4	7	5	0101	101*	1010-1011	10,11	9,10
5	5	6	0110	110*	1100-1101	12,13	11,12
6	0	7	0111	111*	1110-1111	14,15	13,14

【讨论】：

这比完美还要好！非常感谢！