位黑客和模运算

Posted 2023-02-19

【中文标题】位黑客和模运算

【英文标题】：Bit hacking and modulo operation

【发布时间】：2014-04-13 13:22:31

【问题描述】：

阅读本文时：http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#ReverseByteWith64BitsDiv

我来到了这句话：

最后一步，即模除以 2^10 - 1，有 将每组 10 位（从位置 0-9， 10-19, 20-29, ...) 64 位值。

（这是关于反转数字中的位）...

所以我做了一些计算：

reverted = (input * 0x0202020202ULL & 0x010884422010ULL) % 1023;

b = 74          :                                 01001010
b 
 * 0x0202020202 :       1000000010000000100000001000000010
   = 9494949494 :01001010010010100100101001001010010010100
  & 10884422010 :10000100010000100010000100010000000010000 
    = 84000010  :         10000100000000000000000000010000
  % 1023        :                               1111111111
    = 82        :                                 01010010

现在，唯一有点不清楚的部分是大数模 1023 (2^10 - 1) 打包并给我倒位的部分......我没有找到任何关于位之间关系的好文档运算和模运算（在x % 2^n == x & (2^n - 1)) 旁边）所以也许如果有人对此有所了解，那将是非常富有成效的。

【问题讨论】：

模不会“反转”位，它只是将 4 个字节“打包”为一个。

@RagingScallion 你说得对，我的措辞不好......

仅供参考，除法运算（例如取模）在具有定点架构的 CPU 上非常昂贵。现在，您将您的问题标记为low-level，所以我认为它可能与您的情况相关。如果您正在为这种处理器编写代码，那么您真的应该尽量避免使用% 或/（正如我所说，仅供参考）...此外，您可以也想看看aggregate.org/MAGIC/#Bit%20Reversal（不涉及除法操作）。虽然它显示了 32 位操作数的示例，但我相信它也适用于 64 位操作数。

@barakmanos 很棒的链接，谢谢 :)

N mod 常数根本不应该很贵；编译器可以使用类似的技巧将除法转换为倒数乘法等等。

【参考方案1】：

模运算本身并没有给你反转位，它只是一个分箱操作。

第一行：单词扩展

b * 0x0202020202 = 01001010 01001010 01001010 01001010 01001010 0 p>

乘法运算具有卷积属性，这意味着它会多次复制输入变量（这里是 5，因为它是一个 8 位字）。

第一行：反转位

这是 hack 中最棘手的部分。您必须记住，我们正在处理一个 8 位字：b = abcdefgh，其中 [a-h] 是 1 或 0。

b  * 0x0202020202 = abcdefghabcdefghabcdefghabcdefghabcdefgha
    & 10884422010 = a0000f000b0000g000c0000h000d00000000e0000

最后一行：分词

Modulo 有一个特殊的属性：10 ≡ 1 (mod 9) 所以100 ≡ 10*10 ≡ 10*1 (mod 9) ≡ 1 (mod 9)。

更一般地说，对于基数 b、b ≡ 1 (mod b - 1)，所以对于所有数字 a ≡ sum(a_k*b^k) ≡ sum (a_k) (mod b - 1)。

在示例中，base = 1024（10 位）所以

b ≡ a0000f000b0000g000c0000h000d00000000e0000 
  ≡ a*base^4 + 0000f000b0*base^3 + 000g000c00*base^2 + 00h000d000*base +00000e0000 
  ≡ a + 0000f000b0 + 000g000c00 + 00h000d000 + 00000e0000 (mod b - 1)
  ≡  000000000a
   + 0000f000b0 
   + 000g000c00 
   + 00h000d000 
   + 00000e0000 (mod b - 1)
 ≡   00hgfedcba (mod b - 1) since there is no carry (no overlap)