图中的最短路径查询

Posted 2023-02-19

【中文标题】图中的最短路径查询

【英文标题】：Shortest path queries in a graph

【发布时间】：2022-01-14 03:37:54

【问题描述】：

我们得到一个由N 节点组成的静态图，其中我们有边，如下所示：

 1. node-1 to node-i (for all 2 <= i <= N) of weight N + 1.
 2. node-x to node-y (for all 2 <= x,y <= N) of weight 1, if and only if x divides y OR y divides x.

我们得到Q 类型(u, v) 的查询，我们需要找到节点u 和v. 之间的最短路径

约束：

T <= 10^5     // number of test cases
N <= 2 * 10^5 // number of nodes
Q <= 2 * 10^5 // number of queries
u,v <= N      

方法：几乎恒定的时间 - O(1)。

private int gcd(int x, int y) 
    if(x % y == 0) return y;
    return gcd(y, x % y);


private int lcm(int x, int y) 
    return (x * y) / gcd(x, y);


private int[] shortest_path(int N, int Q, int[][] queries) 
    int[] result = new int[Q];

    int[] smallestDivisor = new int[N + 1];
    for(int i = 2; i <= N; i++) 
        if(smallestDivisor[i] == 0) 
            int f = 1;
            while(i * f <= N) 
                if(smallestDivisor[i * f] == 0)
                    smallestDivisor[i*f] = i;
                f += 1;
            
           
    

    for(int i = 0; i < Q; i++) 
        int u = queries[i][0];
        int v = queries[i][1];
        int LCM = lcm(u, v);
        int GCD = gcd(u, v);

        int smallestDivisorOfU = smallestDivisor[u];
        int smallestDivisorOfV = smallestDivisor[v];

        if(u == v)
            result[i] = 0;       // if nodes are same 
        else if(u == 1 || v == 1)
            result[i] = N + 1;  // if any of the node is '1'
        else if(u % v == 0 || v % u == 0)
            result[i] = 1;      // if nodes are divisible
        else if(GCD != 1 || LCM <= N)
            result[i] = 2;    // if gcd != 1 || lcm exists thus we can go as: 'x' --> gcd(x, y)/lcm(x,y) --> 'y' : 2 distance
        else if(Math.min(smallestDivisorOfU * v, smallestDivisorOfV * u) <= N) 
            result[i] = 3;
        else
            result[i] = 2 * (N + 1); // we have to go via '1' node
    

    return result;

这种方法是否适用于每个测试用例？

【问题讨论】：

为什么选择 LCM 而不是 GCD？示例：节点 16,12 当 N

@MBo，是的，我应该考虑这两种情况，对吗？ GCD n 液晶模组。好像GCD == 1，比如说2个素数，那么我必须考虑LCM的情况，如果它存在，那么我们可以说最短距离是2，否则是2 * (N+1)。

是的，你完全正确 - 先 gcd，然后 lcm 如果 gcd==1

@MBo，将更新代码，您是否看到任何其他可能在 OP 的方法上失败的案例

我在回答中添加了提案

【参考方案1】：

在 LCM 之前添加 GCD 计算以提供路径 A => GCD(A,B) => B（完成）

当 LCM 检查失败时，对值进行因式分解。如果它们是素数，则通过"1" 节点。否则检查

   if (min(SmallestDivisorOfA * B , SmallestDivisorOfB * A) <= N) 
        result[i] = 3; 

Example: 7=>14=>2=>6