如何在 C++ 中使用约束满足来实现密码算法
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【中文标题】如何在 C++ 中使用约束满足来实现密码算法【英文标题】：How to implement Cryptarithmetic using Constraint Satisfaction in C++ 【发布时间】：2021-12-06 02:45:16 【问题描述】：我将通过一个例子来解释什么是密码算术问题：
T W O
+ T W O
F O U R
我们必须为每个字母分配一个数字 [0-9]，这样没有两个字母共享相同的数字，并且满足上述等式。
上述问题的一种解决方法是：
7 6 5
+ 7 6 5
1 5 3 0
有两种方法可以解决这个问题，一种是蛮力，这会奏效，但不是最佳方法。另一种方法是使用约束满足。
使用约束满足的解决方案 我们知道 R 将永远是偶数，因为它的 2 * O 这将 O 的域缩小到 0, 2, 4, 6, 8 我们也知道 F 只能是 1，因为 F 不是两个字母相加，它的值一定是从 T + T = O 这也意味着 T + T > 9，只有这样它才能为 F 生成进位； 这告诉我们 T > 4 5, 6, 7, 8, 9 随着我们继续这样做，我们会不断缩小领域，这有助于我们将时间复杂度大大降低。
这个概念看起来很简单，但我在用 C++ 实现它时遇到了麻烦。尤其是我们为每个变量生成约束/域的部分。请记住，其中也涉及进位。
编辑：我正在寻找一种使用我所说的概念为每个变量生成域的方法。
【问题讨论】：
请澄清您的具体问题或提供其他详细信息以准确突出您的需求。正如目前所写的那样，很难准确地说出你在问什么。 首先欢迎来到 Stack Overflow。请阅读the help pages，接受SO tour，阅读How to Ask，以及this question checklist。 至于如何解决你的问题，任何复杂的问题都可以分解成更小更简单的子问题。做这个细分，直到所有问题都尽可能简单，并且可以进一步细分。然后逐个解决和实施每个小子问题，并在其间进行测试以确保其按预期工作。当你把它们放在一起时，你已经解决了最初的复杂问题。 是否可以选择将整个转换为 SAT/SMT 并使用 z3 ？ 【参考方案1】：完整的解决方案方式超出了简单 SO 问题的范围，但我可以勾勒出您需要的内容。
首先，为进位生成新字母：
0 T W O
0 T W O
+ Z Y X V
F O U R
然后您可以生成一个包含所有选项的std::map<char, std::set<int>>。字母的标准范围是 0..9，V 是 0，Z 是 1，Y 和 X 是 0..1。
接下来，您需要将添加的内容编码为一组子句。
enum class Op Equal, SumMod10, SumDiv10, Even, Odd ;
struct clause Op op; std::vector<Var> children; ;
std::vector<clause> clauses
Equal, 'Z' , 'F',
SumMod10, 'O', 'T', 'T', 'Y', // O = (T+T+Y) mod 10
SumMod10, 'U', 'W', 'W', 'X',
SumMod10, 'R', 'O', 'O', 'V',
SumDiv10, 'F', 'T', 'T', 'Y', // F is the carry of T+T+Y
SumDiv10, 'O', 'W', 'W', 'X',
SumDiv10, 'U', 'O', 'O', 'V',
;
然后有趣的部分开始了：您需要创建一个计算，该计算将尝试使用它所拥有的知识来简化约束。
例如，SumMod10, 'U', 'O', 'O', 'V' 可以简化为SumMod10, 'U', 'O', 'O', 0，因为V=0。
有时子句可以缩小变量的范围，例如Equal, 'Z', 'F' 约束可以立即将F 的范围缩小到0,1。
接下来，您需要教您的系统有关基本代数等式的知识，以便进一步简化，例如：
SumMod10, A, 0, C === SumMod10, A, C, 0 === Equal, A,C
甚至更抽象的东西，例如“如果 A >= 5 且 B >= 5 则 A+B >= 10”或“如果 A 是偶数且 B 是偶数则 A + B 也是偶数”。
最后，您的系统需要能够假设假设并反驳它们，或者证明假设无论如何都是正确的，就像您在帖子中所做的那样。 例如，假设 R 是奇数就意味着 O + O 是奇数，这只有在 O 同时是奇数和偶数时才会发生。因此 R 必须是偶数。
最终，您将不仅实现了一个用于描述和评估数字域中的布尔子句的正式系统，您还将拥有一个目标驱动的解决方案引擎。如果这不仅仅是一种无聊的思考，我会强烈考虑采用 SMT 系统来为您解决这个问题，或者至少学习 Prolog 并在那里表达您的问题。
【讨论】：
【参考方案2】：这类问题是通用约束编程包的一个很好的应用，比如谷歌的开源 OR-Tools。 （参见https://developers.google.com/optimization 和https://developers.google.com/optimization/cp/cryptarithmetic）。
这个包是用c++写的，所以应该很适合你。
那么编程问题就这么简单（对不起，因为我在 c# 中使用 OR-Tools，这是 c# 代码，但 c++ 代码看起来几乎一样）
public void initModel(CpModel model)
// Make variables
T = model.NewIntVar(0, 9, "T");
W = model.NewIntVar(0, 9, "W");
O = model.NewIntVar(0, 9, "O");
F = model.NewIntVar(0, 9, "F");
U = model.NewIntVar(0, 9, "U");
R = model.NewIntVar(0, 9, "R");
// Constrain the sum
model.Add((2 * (100 * T + 10 * W + O)) == (1000 * F + 100 * O + 10 * U + R));
// Make sure the variables are all different
model.AddAllDifferent(decisionVariables);
// The leading digit shouldn't be 0
model.Add(T != 0);
model.Add(F != 0);
然后调用Solve方法。
在求和的约束中，操作符* + 和 == 都在包中被覆盖，以创建模型可以用来强制执行约束的对象。
这是枚举解决方案的输出的开始
Solution #0: time = 0,00 s;
T = 8
W = 6
O = 7
F = 1
U = 3
R = 4
Solution #1: time = 0,01 s;
T = 8
W = 4
O = 6
F = 1
U = 9
R = 2
Solution #2: time = 0,01 s;
T = 8
W = 3
O = 6
F = 1
U = 7
R = 2
Solution #3: time = 0,01 s;
T = 9
W = 3
O = 8
F = 1
U = 7
R = 6
这是完整的代码，包括解决方案打印和执行的主要方法：
using Google.OrTools.Sat;
using System;
using System.IO;
namespace SO69626335_CryptarithmicPuzzle
class Program
static void Main(string[] args)
try
Google.OrTools.Sat.CpModel model = new CpModel();
ORModel myModel = new ORModel();
myModel.initModel(model);
IntVar[] decisionVariables = myModel.decisionVariables;
// Creates a solver and solves the model.
CpSolver solver = new CpSolver();
VarArraySolutionPrinter solutionPrinter = new VarArraySolutionPrinter(myModel.variablesToPrintOut);
solver.SearchAllSolutions(model, solutionPrinter);
Console.WriteLine(String.Format("Number of solutions found: 0",
solutionPrinter.SolutionCount()));
catch (Exception e)
Console.WriteLine(e.Message);
Console.WriteLine(e.StackTrace);
throw;
Console.WriteLine("OK");
Console.ReadKey();
class ORModel
IntVar T;
IntVar W;
IntVar O;
IntVar F;
IntVar U;
IntVar R;
public void initModel(CpModel model)
// Make variables
T = model.NewIntVar(0, 9, "T");
W = model.NewIntVar(0, 9, "W");
O = model.NewIntVar(0, 9, "O");
F = model.NewIntVar(0, 9, "F");
U = model.NewIntVar(0, 9, "U");
R = model.NewIntVar(0, 9, "R");
// Constrain the sum
model.Add((2 * (100 * T + 10 * W + O)) == (1000 * F + 100 * O + 10 * U + R));
// Make sure the variables are all different
model.AddAllDifferent(decisionVariables);
// The leading digit shouldn't be 0
model.Add(T != 0);
model.Add(F != 0);
public IntVar[] decisionVariables
get
return new IntVar[] T, W, O, F, U, R ;
public IntVar[] variablesToPrintOut
get
return decisionVariables;
public class VarArraySolutionPrinter : CpSolverSolutionCallback
private int solution_count_;
private IntVar[] variables;
public VarArraySolutionPrinter(IntVar[] variables)
this.variables = variables;
public override void OnSolutionCallback()
// using (StreamWriter sw = new StreamWriter(@"C:\temp\GoogleSATSolverExperiments.txt", true, Encoding.UTF8))
using (TextWriter sw = Console.Out)
sw.WriteLine(String.Format("Solution #0: time = 1:F2 s;",
solution_count_, WallTime()));
foreach (IntVar v in variables)
sw.Write(
String.Format(" 0 = 1\r\n", v.ShortString(), Value(v)));
solution_count_++;
sw.WriteLine();
if (solution_count_ >= 10)
StopSearch();
public int SolutionCount()
return solution_count_;
【讨论】：
【参考方案3】：这是我使用回溯解决它的方法
我的方法是巧妙地暴力破解它，我递归地将每个可能的值 [0-9] 分配给每个字母并检查是否存在任何矛盾。
矛盾可以是以下之一：
两个或多个字母最终具有相同的值。 字母总和与结果字母的值不匹配。 字母总和已分配给某个字母。一旦发生矛盾，该特定组合的递归就结束。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<string> words, wordOg;
string result, resultOg;
bool solExists = false;
void reverse(string &str)
reverse(str.begin(), str.end());
void printProblem()
cout<<"\n";
for(int i=0;i<words.size();i++)
for(int j=0;j<words[i].size();j++)
cout<<words[i][j];
cout<<"\n";
cout<<"---------\n";
for(int i=0;i<result.size();i++)
cout<<result[i];
cout<<"\n";
void printSolution(unordered_map<char, int> charValue)
cout<<"\n";
for(int i=0;i<words.size();i++)
for(int j=0;j<words[i].size();j++)
cout<<charValue[wordOg[i][j]];
cout<<"\n";
cout<<"---------\n";
for(int i=0;i<result.size();i++)
cout<<charValue[resultOg[i]];
cout<<"\n";
void solve(int colIdx, int idx, int carry, int sum,unordered_map<char, int> charValue, vector<int> domain)
if(colIdx<words.size())
if(idx<words[colIdx].size())
char ch = words[colIdx][idx];
if(charValue.find(ch)!=charValue.end())
solve(colIdx + 1, idx, carry, sum + charValue[ch], charValue, domain);
else
for(int i=0;i<10;i++)
if(i==0 && idx==words[colIdx].size()-1) continue;
if(domain[i]==-1)
domain[i] = 0;
charValue[ch] = i;
solve(colIdx + 1, idx, carry, sum + i, charValue, domain);
domain[i] = -1;
else solve(colIdx + 1, idx, carry, sum, charValue, domain);
else
if(charValue.find(result[idx])!=charValue.end())
if(((sum+carry)%10)!=charValue[result[idx]]) return;
else
if(domain[(sum + carry)%10]!=-1) return;
domain[(sum + carry)%10] = 0;
charValue[result[idx]] = (sum + carry)%10;
carry = (sum+carry)/10;
if(idx==result.size()-1 && (charValue[result[idx]]==0 || carry == 1)) return;
if(idx+1<result.size()) solve(0, idx+1, carry, 0, charValue, domain);
else
solExists = true;
printSolution(charValue);
int main()
unordered_map<char, int> charValue;
vector<int> domain(10,-1);
int n;
cout<<"\nEnter number of input words: ";
cin>>n;
cout<<"\nEnter the words: ";
for(int i=0;i<n;i++)
string inp;
cin>>inp;
words.push_back(inp);
cout<<"\nEnter the resultant word: ";
cin>>result;
printProblem();
wordOg = words;
resultOg = result;
reverse(result);
for(auto &itr: words) reverse(itr);
solve(0, 0, 0, 0, charValue, domain);
if(!solExists) cout<<"\nNo Solution Exists!";
return 0;
【讨论】：
以上是关于如何在 C++ 中使用约束满足来实现密码算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章