构造一个将两个 DAG 作为输入并返回在两者中找到的最长路径的算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】构造一个将两个 DAG 作为输入并返回在两者中找到的最长路径的算法

【英文标题】：Constructing an Algorithm which takes as Input Two DAG's and Returns the Longest Path found in Both

【发布时间】：2022-01-17 16:17:55

【问题描述】：

构造并描述一个有效的算法，该算法将两个有向无环图 (DAG) 作为输入，并找到出现在这两个图中的最长路径。

如果有多个，算法应该返回最长的路径之一（不管是哪一个）。总之，给定图 G = (V,E) 和 G' =(V',E')，找到最长的可能序列 其中 (v_i,v_i+1)在 E 和 E'中 i = 1...k-1。

有什么想法吗？我可以自己编写实际代码，我只需要帮助构建实际算法背后的想法并找到问题的解决方案。

我想我可以使用递归 DFS 和一些记忆：同时跟踪访问过的节点；对于每个起始节点和每个邻居，计算到邻居的距离 + 从邻居到目标的距离。然后取其中的最大值，将其作为该节点的最大值进行记忆，并返回。

对两个 DAG 都使用这种方法，这里的问题是确定这两个路径中哪一个是最长的。

将不胜感激任何想法/帮助。

【问题讨论】：

添加一个输入输出示例怎么样？

@ShridharRKulkarni 我没有得到任何东西。这是我的算法和数据结构课程中的一个练习题。

但是为了让堆栈溢出社区准确理解您的问题和预期的解决方案，需要一个示例。例如，我不明白“两者中找到的最长路径”是什么意思。两个 DAG 中路径中的值是否应该相同？或者只是根据某些标准长度需要相同？ + 这是一个练习题。因此，我们对您采取了哪些努力以及您在哪里陷入困境感兴趣。我们就是这样学习的。

两张图是一个红鲱鱼。丢弃不属于两个图的边，并使用一个图。现在您需要在一张图中找到最长的路径，这是众所周知的简单问题（对于 DAG）。

@ShridharRKulkarni 感谢您的反馈，我现在添加了更多描述，希望能更清楚。我确实有一个部分有一些关于如何解决问题的自己的想法。

【参考方案1】：

两种方法：

从每个顶点开始，找出最长的公共路径是什么。 DFS+记忆。返回最大长度。如果您也想要路径，请记住最长的路径。

找到 DAG 的交点并返回最长的相交路径。您可以找到here 图形交集的代码。同样，你也可以为 DAG 做。

在方法 1 中，您不需要存储 DAG 的相交部分，只需最大长度即可。因此，与方法二相比，它的内存效率更高。

在第一种方法中，您找出最大匹配路径的长度（此处为 BCD）并返回长度。

在第二种方法中，您将存储匹配的部分（此处为 BCD）并从中返回最长的路径长度。

方法3：

@"n. 1.8e9-where's-my-share m."在 cmets 中提到了另一种方法，您可以从一个图中删除另一个图中不存在的边。

因此，如果您从图 1 中删除图 2 中不存在的边，您将得到以下结果：

在上图中，如果你做 DFS，你会得到 3 作为答案，因为 BCD 是最长的路径。