三个嵌套 for 循环的时间复杂度

Posted 2023-02-19

【中文标题】三个嵌套 for 循环的时间复杂度

【英文标题】：Time Complexity of three nested for loops

【发布时间】：2021-02-15 04:37:02

【问题描述】：

有三个嵌套的 for 循环，如果循环递增 1，我可以找到复杂度，但如果循环像这样 i+=c 递增，我会感到困惑？

    for (int i = 0; i < n; i+=c)
        for (int j = 0; j < i; j++)
             for (int k=0; k < m; k++)
                 result[i,j]= x[j]-y[k]

第三个 for 循环的复杂度是 m，但我认为第一个 for 循环是 n/c，第二个 for 循环是 n ==> 将范围相乘：n/c * n * m = n^2 /c * m ==> 最坏的情况是 O(n^2)。它是否正确？ 如何使用求和形式求总迭代次数？

【问题讨论】：

什么是 m？是数组的长度吗？

对，m和n是两个不同数组的长度

【参考方案1】：

在您的情况下，时间复杂度取决于两个参数：m 和 n，因为中间循环可以表示为第一个的函数。

如果考虑总迭代次数，它们的顺序是：

1/2 * m * n * (n-1) = O(mn^2)

左边部分假设c=1。但是，将c 作为常数，整体时间复杂度不会改变。

如果 c 未作为常数给出，则生成的时间复杂度将为 O(mn^2)/c

【讨论】：

我猜你应该除以c，因为i += c

感谢您的帮助。我对 c 部分感到困惑，如果 i+=2，我在这里看到了很多例子，复杂度将是 n/2。每次程序运行时，c 都会有不同的值。

但是如果 n^2 占主导地位，我应该将它单独包含在大 O 表示法上还是应该包含所有变量 O(mn^2/c)？！

取决于您是否有关于 m 的其他信息，并且您可以对其进行表征。例如，如果m=O(n^2) 和c=O(1) 则变为O(n^4)，但如果您没有任何关于它的信息，那么您应该离开，因为时间复杂度也取决于它作为输入的一部分。

非常感谢您的澄清。