锦标赛图的支配集

Posted 2023-02-19

【中文标题】锦标赛图的支配集

【英文标题】：dominating set of a tournament graph

【发布时间】：2010-09-22 17:21:13

【问题描述】：

我正在编写一个算法来查找锦标赛图的主导集。有向图的最小生成树是否等价于图的支配集？换句话说，如果我找到锦标赛图的最小 MST（通过遍历所有顶点），那么我可以说这相当于图的支配集吗？

【问题讨论】：

“smallest”在“smallest MST”中是多余的。根据定义，MST 是最小的。

锦标赛统治组是LogSNP-complete 和W[2]-complete。锦标赛支配集不太可能存在多项式时间算法。然而，MST 在多项式时间内是可解的。此外，通用顶点是一个支配集，而 MST 总是具有所有顶点。

【参考方案1】：

这个Wikipedia article 指出寻找支配集和寻找生成树的问题是等价的。给定一棵生成树，非叶子节点形成一个支配集，给定一个连通支配集，你可以很容易地得到原始图将它的一棵生成树与不属于它的顶点连接起来。然而，找到一个minimal生成树和找​​到一个minimal支配集是不同的问题。我猜它们又是等价的，但我不确定。

【讨论】：

不等价 - 最小支配集是 NP 完备的，最小生成树可由 Prim 或 Kruskal 算法求解，代价为 O(V^2)

@Thelema Tournament Domination Set 不是 NP-complete，而是 LogSNP-complete。

【参考方案2】：

不，因为 MST 将包括图的所有顶点，而支配集可能不包括。

请参见此处的图表：http://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(graph_theory) 顶点 2 和 4 创建一个支配集，而不是生成树。

【讨论】：

我还没有弄清楚如何让带括号的*** URL 在 SO 中正确显示。有什么建议吗？