具有下限的网络中的最小流量-我做错了啥？

Posted 2023-02-19

【中文标题】具有下限的网络中的最小流量-我做错了啥？

【英文标题】：Minimum flow in a network with lower bounds - what am I doing wrong?具有下限的网络中的最小流量-我做错了什么？

【发布时间】：2015-05-29 19:09:57

【问题描述】：

我要解决的问题如下：

给定一个有向图，找出“覆盖”整个图的最小路径数。多条路径可能经过同一个顶点，但路径的并集应该是所有路径。

对于给定的示例图（见图），结果应该是 2（1->2->4，并且 1->2->3 就足够了）。

通过分割顶点并为连接入顶点和出顶点的每条边分配 1 的下限，并将源链接到每个入顶点，将每个出顶点链接到汇（它们不是如图所示，因为它会使整个事情变得混乱），现在的问题是在图中找到具有下限约束的最小流量。

但是，我已经读过，为了解决这个问题，我必须找到一个可行的流程，然后按如下方式分配容量：C(e) = F(e) - L(e)。但是，通过给每条Source-vertex edge、vertex-Sink edge、In-Out edge分配一个flow为1，可行的flow是正确的，总的flow等于顶点的个数。但是通过分配新容量，进出边（标记为蓝色）的容量为 0（它们的下限为 1，在我们选择可行流时，它们的流为 1），并且没有流动是可能的。

图。 2：我如何选择“可行流程”

但是，从图中您可以清楚地看到，您可以引导一个满足每个“顶点边缘”下限的 2 流。

我对最小流量算法的理解有误吗？哪里错了？！

【问题讨论】：

当我找到可行流时，我是否应该确保每条边上的流都大于最小流问题的解？因为如果不是，那么我看不到算法可以为我提供良好流程的任何方式。

【参考方案1】：

一旦您有了可行的流量，您需要通过将流量从汇返回源来开始“修剪”它，但要遵守下限和容量限制（实际上只是剩余容量）。下方的两个黑色边缘用于正向，因为它们还没有流动。涉及源和汇的边被反向使用，因为我们正在撤消它们上已经存在的流。如果您开始从剩余容量的角度考虑所有这些，那将更有意义。

【讨论】：

那么，当我反转边缘时，我只反转源和汇的边缘？因为，如果我反转整个图并计算从 t 到 s 的最大流量，我仍然一无所获（考虑到进出边的容量为 0）。我究竟要如何取消流程？从图中可以看出，您无法取消每个单独的流程，因为它们没有连接，并且取消一个会破坏下限约束

@lbicsi 你把有流的那些倒过来。

换句话说，我为每个前向边缘分配容量 C(e) - F(e)，为每个后向边缘分配 F(e) - L(e)？这就是答案吗？

另外，如果一条边在两端都有容量，那不会以任何方式违反算法，对吧？还是我必须再次分割后边缘（即在两个相邻节点之间添加一个辅助节点）