在一个集合中查找与另一个集合中的数字相加的一组数字

Posted 2023-02-19

【中文标题】在一个集合中查找与另一个集合中的数字相加的一组数字

【英文标题】：Find set of numbers in one collection that adds up to a number in another

【发布时间】：2011-03-11 20:49:23

【问题描述】：

对于我正在制作的游戏，我有一个数字列表——比如说 [7, 4, 9, 1, 15, 2]（为此命名为A）——还有另一个数字列表– 说 [11, 18, 14, 8, 3]（命名为 B） – 提供给我。目标是找到A 中所有与B 中的数字相加的数字组合。例如：

1 + 2 = 3 1 + 7 = 8 2 + 9 = 11 4 + 7 = 11 1 + 2 + 4 + 7 = 14 1 + 2 + 15 = 18 2 + 7 + 9 = 18

...等等。 （为此，1 + 2 与 2 + 1 相同。）

对于像这样的小型列表，仅暴力组合是微不足道的，但我面临着看到数千到数万个这样的数字的可能性，并且将在应用程序的生命周期内重复使用此例程。是否有任何优雅的算法可以在合理的时间内以 100% 的覆盖率完成此任务？如果做不到这一点，我能找到任何一种像样的启发式方法，可以在合理的时间内给我一个“足够好”的组合吗？

我正在寻找一种伪代码或任何相当流行且可读的语言的算法（注意那里的“和”......；），甚至只是关于如何实现这种类型的英文描述的搜索。

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编辑添加：

到目前为止提供了很多很好的信息。哥们，谢啦！现在总结一下：

问题是 NP-Complete，因此要想在合理的时间内获得 100% 的准确率，没有任何办法。 可以将问题视为subset sum 或knapsack 问题的变体。两者都有众所周知的启发式方法，它们可能适用于这个问题。

让创意不断涌现！再次感谢！

【问题讨论】：

是否有元素或数字大小的上限？如果您保持较低的值，则无需等待太久即可计算出来。

如果可以利用某些约束，应该可以使用一些启发式方法。例如，数组 A 和 B 的大小和/或成员是否恒定？或者你可能遇到的数字范围有限？

@tathagata：数字永远不会超过 30 也不会低于 1。那将是一个限制。

@Just ...: 数字是 1 到 30 之间的整数？这是关于A中的数字吗？我们可以假设 A 中的数字是不同的吗？

@Just... B 中的数字是否也在 1 到 30 之间？如果是这样，考虑到大量但合理的空间，问题是易于处理的。

【参考方案1】：

这个问题是 NP-Complete... 这是已知为 NP-Complete 的子集和问题的一些变体（实际上，子集和问题比你的更容易）。

阅读此处了解更多信息： http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem

【讨论】：

我偷偷怀疑它是 NP-hard 或更糟。我可以应用他们的启发式方法吗？

是的，当然。首先，***文章中有一个近似算法，看看它是否符合您的需求。其次，您可以应用分支定界方法（或 alpha-beta 修剪）。如果您对列表中的最大数字有一个上限，您还可以应用一些启发式方法，例如为 B 中的数字 t 编译所有可能的添加剂的列表。（只有当 t,B 是相对较小，A 很大...）

【参考方案2】：

正如在数字范围仅为 1 到 30 的 cmets 中所说，这个问题有一个快速的解决方案。我在 C 中对其进行了测试，对于您给定的示例，它只需要几毫秒并且可以很好地扩展。复杂度为 O(n+k)，其中 n 是列表 A 的长度，k 是列表 B 的长度，但具有很高的常数因子（有 28.598 种可能得到从 1 到 30 的总和）。

#define WIDTH 30000
#define MAXNUMBER 30

int create_combination(unsigned char comb[WIDTH][MAXNUMBER+1], 
                       int n, 
                       unsigned char i, 
                       unsigned char len, 
                       unsigned char min, 
                       unsigned char sum) 
    unsigned char j;

    if (len == 1) 
        if (n+1>=WIDTH) 
            printf("not enough space!\n");
            exit(-1);
        
        comb[n][i] = sum;
        for (j=0; j<=i; j++)
            comb[n+1][j] = comb[n][j];
        n++;
        return n;
    

    for (j=min; j<=sum/len; j++) 
        comb[n][i] = j;
        n = create_combination(comb, n, i+1, len-1, j, sum-j);
    

    return n;

---

int main(void)

    unsigned char A[6] =  7, 4, 9, 1, 15, 2 ;
    unsigned char B[5] =  11, 18, 14, 8, 3 ;

    unsigned char combinations[WIDTH][MAXNUMBER+1];
    unsigned char needed[WIDTH][MAXNUMBER];
    unsigned char numbers[MAXNUMBER];
    unsigned char sums[MAXNUMBER];
    unsigned char i, j, k;
    int n=0, m;

    memset(combinations, 0, sizeof combinations);
    memset(needed, 0, sizeof needed);
    memset(numbers, 0, sizeof numbers);
    memset(sums, 0, sizeof sums);

    // create array with all possible combinations
    // combinations[n][0] stores the sum
    for (i=2; i<=MAXNUMBER; i++) 
        for (j=2; j<=i; j++) 
            for (k=1; k<=MAXNUMBER; k++)
                combinations[n][k] = 0;
            combinations[n][0] = i;
            n = create_combination(combinations, n, 1, j, 1, i);
        
    

    // count quantity of any summands in each combination
    for (m=0; m<n; m++)
        for (i=1; i<=MAXNUMBER && combinations[m][i] != 0; i++)
            needed[m][combinations[m][i]-1]++;

    // count quantity of any number in A
    for (m=0; m<6; m++)
        if (numbers[A[m]-1] < MAXNUMBER)
            numbers[A[m]-1]++;

    // collect possible sums from B
    for (m=0; m<5; m++)
        sums[B[m]-1] = 1;

    for (m=0; m<n; m++) 
        // check if sum is in B
        if (sums[combinations[m][0]-1] == 0)
            continue;

        // check if enough summands from current combination are in A
        for (i=0; i<MAXNUMBER; i++) 
            if (numbers[i] < needed[m][i])
                break;
        

        if (i<MAXNUMBER)
            continue;

        // output result
        for (j=1; j<=MAXNUMBER && combinations[m][j] != 0; j++) 
            printf(" %s %d", j>1 ? "+" : "", combinations[m][j]);
        
        printf(" = %d\n", combinations[m][0]);
    

    return 0;

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1 + 2 = 3
1 + 7 = 8
2 + 9 = 11
4 + 7 = 11
1 + 4 + 9 = 14
1 + 2 + 4 + 7 = 14
1 + 2 + 15 = 18
2 + 7 + 9 = 18

【参考方案3】：

听起来像是一个背包问题（请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem。在该页面上，他们还解释了该问题通常是 NP 完全问题。

我认为这意味着如果你想找到所有有效的组合，你只需要很多时间。

【讨论】：

嗯，这就是为什么我还询问了可以在合理时间内给我“足够好”结果的启发式方法。

【参考方案4】：

这是subset sum problem 的一个小概括。一般来说，它是NP完全的，但只要所有数字都是整数并且B中的最大数字相对较小，我链接的***文章中描述的伪多项式解决方案应该可以解决问题。