是否可以实现 O(1) 空间复杂度的快速排序？

Posted 2023-02-19

【中文标题】是否可以实现 O(1) 空间复杂度的快速排序？

【英文标题】：Is it possible to implement quicksort with O(1) space complexity?

【发布时间】：2012-07-12 09:42:22

【问题描述】：

根据我在Wikipedia's explanation of quicksort's space complexity 中的理解，快速排序的空间复杂性来自其递归性质。我很好奇是否有可能以非递归方式实现快速排序，并且在这样做的过程中，以恒定的空间复杂度实现它。

【问题讨论】：

@trumpetlicks: O(1) 空间复杂度.

@j_random_hacker - 好点，我在考虑算法复杂性:-)

是的，您只需要以能够预测分区大小的方式选择枢轴元素。

@Daniel：事实证明，您不能基于时间复杂度低于 O(N log N) 的比较进行排序。

@salva：中位数的中位数会做到这一点——但它需要 O(log N) 空间来选择这些枢轴......

【参考方案1】：

完全有可能以非递归方式实现它，但您可以通过实现与普通函数调用/返回堆栈分开的堆栈来实现。它可以通过只存储基本信息而不是大量（大部分相同的）函数返回地址来节省一些空间，但它的大小仍然是对数的，而不是恒定的。

【讨论】：

fwiw，有一种方法可以就地进行快速排序。我想你可以有效地保存枢轴等。

@DennisMeng：是的，您可以有效地将枢轴保存在堆栈中。假设您总是先对较小的分区进行排序，那么您必须保存的枢轴数限制为 O(log N)。 IOW，您需要的额外空间量是 O(log N)。

这个答案不正确。请参阅下面的版本。您可以将范围存储在数据中，而不会影响算法的复杂性。

@JerryCoffin。我描述的算法对数据进行分区，然后对每个分区进行排序。与经典快速排序的区别在于它通过循环而不是递归（根据问题这是必要的）来完成此操作。另一个区别是它调整了每个分区的两个值的位置，而不是将信息存储在堆栈中。我根本看不到与堆排序的关系。该算法在选择拆分器时存在完全相同的问题，并且具有与快速排序相同的性能特征。

@GordonLinoff：嗯，我想你可以持有任何你想要的意见。如果你问 10 位经验丰富的程序员：“如果我愿意，我可以合理地将其称为快速排序吗？”这可能是真的，至少有一半可能至少会同意你可以。另一方面，如果您说“这种类型的名称是什么”，如果不止一个人说它是一种快速排序，我会感到惊讶（即使有人说它，也可能是因为他们没有仔细阅读小心）。声称我的答案是错误的（或明显的反对票）并不是一个合理的依据。

【参考方案2】：

***并不总是错误的。而且，正如该部分所建议的，有一种方法可以使用常量空间进行快速排序或类似的操作。重要的一点。快速排序本身可以定义为递归分区算法。如果是这样，那么根据定义，它将需要 O(n) 堆栈空间。但是，我假设您没有使用这种迂腐的定义。

简单回顾一下分区的工作原理。给定一个数组、一个起点和一个终点，选择一个分区值。然后拆分数组中的数据元素，因此小于分区值的所有内容都在左侧，而大于分区值的所有内容都在右侧。这样做的一个好方法是从每一端开始，找到第一个不属于的值，然后交换它们。顺便说一下，这使用了常量空间。

所以，算法的每一步都在遍历数组。让我们记住这个事实。

现在，我们可以做一个有趣的观察。如果我们以深度优先的方式进行递归分区，那么我们只需要存储每个范围的端点。在下降的过程中，数组的左边缘始终是开始。终点逐渐接近起点，直到只有两个可以交换的元素。此时，开始移动了两个槽，但我们不知道结束。因此，查找结尾并继续该过程。然后在下一步“向上”时，我们需要下一个端点，以此类推。

问题是：除了将实际值存储在堆栈中之外，我们还能通过其他方式找到终点吗？

嗯，答案是“是”。

递归分区算法的每一步都会读取所有数据。我们可以对数据做一些额外的计算。特别是，我们可以计算最大值和第二大值。 （我也会计算最小值，但这是一种优化。

我们对值所做的是标记范围。在第一次拆分时，这意味着将第二个最大值放在拆分点，将最大值放在范围的末尾。在返回树的路上，你知道范围从哪里开始。范围的结尾是第一个大于该值的值。

瞧！您可以在不存储任何数据的情况下向上移动“递归”树。您只是在使用所提供的数据。

完成此操作后，您只需将算法从递归算法更改为 while 循环。 while 循环重新排列数据，在每一步设置起点和终点。它选择一个拆分器，拆分数据，标记起点和终点，然后在数据的左侧重复。

当它到达最小单位时，它会检查它是否完成（它是否到达数据的末尾）。如果不是，它会查看一个单位的数据点以找到第一个标记。然后它通过数据寻找终点。顺便说一下，这种搜索在复杂性上等同于数据的分区，因此它不会增加复杂性的顺序。然后它遍历这个数组，继续这个过程直到它完成。

如果数据中有重复项，则该过程会稍微复杂一些。但是，如果有 log(N) 个重复项，我几乎会主张删除重复项，使用剩余的插槽作为堆栈对数据进行排序，然后将它们重新合并。

为什么这是快速排序。快速排序算法是一种分区交换算法。该算法通过选择一个拆分器值、在两侧划分数据并重复此过程来进行。正如杰弗里在他的回答中指出的那样，递归不是必需的。非常方便。

此算法以完全相同的方式进行。分区遵循相同的基本规则，左侧记录较小，右侧记录较大。唯一的区别是在每个分区内，特定的值被选择在分区的边缘。通过仔细放置这些值，不需要额外的“每步”存储。由于这些值属于分区，因此根据分区和重复的快速排序原则，这是一个有效的分区。

如果有人认为快速排序必须使用递归，那么这将无法通过严格的测试（并且原始问题的答案是微不足道的）。

【参考方案3】：

Branislav Ďurian 在 1986 年提出了 Quicksort 的恒定空间版本。请参阅他的论文“Quicksort without a stack”。在 J. Gruska、B. Rovan 和 J. Wiedermann，编辑，计算机科学数学基础论文集，计算机科学讲义第 233 卷，第 283-289 页。施普林格出版社，1986 年。

其他几位作者对此进行了跟进。您可以查找 Bing-Chao 和 Knuth (1986)；韦格纳（1987）； Kaldewaij 和 Udding（1991 年）；格里斯 (1994)。