两个骑士相遇的最小移动次数

Posted 2023-02-19

【中文标题】两个骑士相遇的最小移动次数

【英文标题】：The minimum number of moves for which two knights will meet

【发布时间】：2021-12-18 18:16:06

【问题描述】：

在一个由 M 行 N 列组成的棋盘上（例如，8x10），有两个马，用户自己输入他们的坐标（例如，（2, 4）是一个白马，（7, 9）是黑骑士）。每个骑士都位于它的牢房中，但是两个骑士可能都在同一个牢房中。 骑士按照象棋骑士的移动规则轮流下棋（白马先走）。游戏的目标是尽快将两匹马放在同一个牢房中。

输入格式

文件的第一行包含值 M 和 N (2≤M,N≤1000)。第二行和第三行分别包含白骑士和黑骑士所在单元格的坐标。第一个坐标在 1 到 M 的范围内，第二个在 1 到 N 的范围内。

输出格式

打印一个数字——完成游戏所需的移动次数。如果骑士永远不能被放置在同一个方格中，则打印 -1。

由于我是算法和数据结构的新手，我试图这样解决这个问题：在所有 64 种可能的白马和黑马两步走组合上运行 for 循环，为每个马移动（检查是否它超出了范围），检查是否有匹配，如果有，则输出它。然后在电流内运行相同的循环。同时，计算动作并输出。但是，我遇到了这样一个问题，我无法在循环内部自动运行这个循环的过程，我不知道这个循环需要运行的次数。我尝试使用递归创建一个函数，如果尚未找到匹配项，则可以在其中调用此循环，但我失败了。 我决定用这种方式解决这个问题是行不通的，所以我研究了这些任务中通常使用的算法。我正在考虑以某种方式为两匹马创建一个邻接列表，其中顶点是马的所有计算位置；使用 BFS 或 Dijkstra 算法。

解决了。 这是我的快速代码：

import Foundation

let mnstr = readLine()?.components(separatedBy: " ")

let m = Int(mnstr![0])!
let n = Int(mnstr![1])!

let wstr = readLine()?.components(separatedBy: " ")
let bstr = readLine()?.components(separatedBy: " ")

var w: [Int] = []
var b: [Int] = []
var count: Int = 0
let moves: [[Int]] = [[2, -1], [1, 2], [-2, -1], [1, -2], [2, 1], [-1, 2], [-2, 1], [-1, -2]]

w.append(Int(wstr![0])!)
w.append(Int(wstr![1])!)
b.append(Int(bstr![0])!)
b.append(Int(bstr![1])!)

var wp: Set = [w]
var bp: Set = [b]

func oneMove(lst: Set<[Int]>) -> Set<[Int]>
    let curr = lst
    var out = lst
    for i in curr 
        for move in moves 
            let item = [i[0] + move[0], i[1] + move[1]]
            if item[0] < 1 || item[0] > m || item[1] < 1 || item[1] > n 
                continue
            
            out.insert(item)
        
    
    return out


while bp.intersection(wp).isEmpty == true 
    wp = oneMove(lst: wp)
    count += 1
    if wp.intersection(bp).isEmpty != true 
        break
    
    bp = oneMove(lst: bp)
    count += 1
    if wp.intersection(bp).isEmpty != true 
        break
    
    if wp.count == 1 || bp.count == 1 
        count = -1
        break
    


print(count)

【问题讨论】：

你的问题是什么？

什么算法可以解决这个问题？无需赘述。我不知道该如何解决

"每个骑士都在同一个牢房里，但也有可能两个骑士都在同一个牢房里。" -- 这是什么意思？

“我无法在循环内自动运行这个循环” -- this 是什么意思？

对不起。每个骑士都位于其一个牢房中。有可能两个骑士在同一个牢房里。目标是找到发生这种情况的最少移动次数

【参考方案1】：

我知道答案已被接受，但对于片段之间的较大距离，BFS 或 Dijkstra 算法将占用大量时间和资源。

但是有一个模式：当棋子之间有足够的距离（X 和 Y 方向）时，可以在两个棋子的边界框内找到最优路径，并且可以通过封闭公式推导出。更受限制或无法解决的情况也可以在恒定时间内识别出来。区分不同模式的代码非常“枯燥”，但当路径很长时它肯定会运行得更快：在恒定时间内（如果我们假设算术运算使用恒定时间）。

这是一些 javascript 代码，其中还包含 BFS 算法，因此可以比较结果。它包括一个互动部分，以便您可以玩棋盘尺寸和两块棋子的位置并检查结果：

function knightDistance(rowCount, colCount, whiteX, whiteY, blackX, blackY) 
    // Convert the state so to ensure that black is at the right & upper side of white, and below the diagonal
    if (blackX < whiteX) return knightDistance(rowCount, colCount, blackX, blackY, whiteX, whiteY); // Swap pieces
    if (blackY < whiteY) return knightDistance(rowCount, colCount, whiteX, rowCount - 1 - whiteY, blackX, rowCount - 1 - blackY); // Mirror against X axis
    let diffX = blackX - whiteX;
    let diffY = blackY - whiteY;
    if (diffX < diffY) return knightDistance(colCount, rowCount, whiteY, whiteX, blackY, blackX); // mirror along diagonal
    

    if (diffX == 2 && diffY == 2) return 4;
    if (diffX <= 2 * diffY && diffX != 1) 
        if ((diffX + diffY) % 2) return Math.floor((diffX + diffY + 1) / 6) * 2 + 1;
        return Math.floor((diffX + diffY + 4) / 6) * 2;
    
    if (rowCount == 1 || colCount == 2) return -1;
    if (rowCount == 2 && diffX % 4 != 2 * diffY) return -1;
    if (diffX + diffY > 3) 
        if ((diffX + diffY) % 2) return Math.floor((diffX + 1) / 4) * 2 + 1;
        return Math.floor((diffX + 3) / 4) * 2;
    
    // Now rowCount > 2 and colCount > 2
    // Other cases where lack of space plays a role
    if (diffY == 1) 
        // Now diffX == 1
        if (rowCount == 3 && colCount == 3 && whiteX == whiteY) return -1;
        if (whiteX == 0 && whiteY == 0 || blackX == colCount - 1 && blackY == rowCount - 1) return 4;
        return 2;
    
    // Now diffY == 0
    if (diffX == 1) 
        if (whiteY == 1 && rowCount == 3 && colCount == 3) return -1;
        if (whiteY == 1 && rowCount == 3 && colCount == 4 && whiteX == 1) return 5;
        return 3;
    
    if (diffX == 2) 
        if (whiteY == 1 && rowCount == 3) return 4;
        return 2;
    
    // Now diffY == 3
    if (colCount == 4 && (whiteY == 0 || whiteY == rowCount - 1)) return 5;
    return 3;


// The BFS algorithm for verification of the above function
function knightDistanceBfs(rowCount, colCount, whiteX, whiteY, blackX, blackY) 
    let visited = new Set;
    let frontier = [[whiteX, whiteY]];
    visited.add(whiteX + whiteY * colCount);
    let steps = 0;
    while (frontier.length) 
        let newFrontier = [];
        for (let [whiteX, whiteY] of frontier) 
            if (whiteX == blackX && whiteY == blackY) return steps;
            for (let [dx, dy] of [[-2, -1], [2, -1], [2, 1], [-2, 1], [-1, -2], [1, -2], [1, 2], [-1, 2]]) 
                let newX = whiteX + dx;
                let newY = whiteY + dy;
                if (newX < 0 || newY < 0 || newX >= colCount || newY >= rowCount) continue;
                let key = newX + newY * colCount;
                if (visited.has(key)) continue;
                visited.add(key);
                newFrontier.push([newX, newY]);
            
        
        steps++;
        frontier = newFrontier;
    
    return -1;


// Quick test of all possibilities on boards with at most 5 rows and 5 columns:
for (let rowCount = 1; rowCount <= 5; rowCount++) 
    for (let colCount = 1; colCount <= 5; colCount++) 
        for (let whiteX = 0; whiteX < colCount; whiteX++) 
            for (let whiteY = 0; whiteY < rowCount; whiteY++) 
                for (let blackX = 0; blackX < colCount; blackX++) 
                    for (let blackY = 0; blackY < rowCount; blackY++) 
                        let answer = knightDistanceBfs(rowCount, colCount, whiteX, whiteY, blackX, blackY);
                        let answer2 = knightDistance(rowCount, colCount, whiteX, whiteY, blackX, blackY);
                        if (answer !== answer2) 
                            console.log(rowCount, colCount, whiteX, whiteY, blackX, blackY);
                            throw "Test case failed";
                        
                    
                
            
        
    


// I/O handling

let [rowInput, colInput] = document.querySelectorAll("input");
let table = document.querySelector("table");
let outputs = document.querySelectorAll("span");
let whiteX, whiteY, blackX, blackY;

rowInput.oninput = colInput.oninput = function () 
    // Create table
    table.innerhtml = "";
    for (let i = +rowInput.value; i > 0; i--) 
        let row = table.insertRow();
        for (let j = +colInput.value; j > 0; j--) 
            row.insertCell();
        
    
    whiteX = -1;
    blackX = -1;
;

table.onclick = function (e) 
    if (e.target.tagName != "TD") return;
    let x = e.target.cellIndex;
    let y = e.target.parentNode.rowIndex;
    if (x == whiteX && y == whiteY) 
        e.target.textContent = "";
        whiteX = -1;
        whiteY = -1;
     else if (x == blackX && y == blackY) 
        e.target.textContent = "";
        blackX = -1;
        blackY = -1;
     else if (whiteX == -1) 
        e.target.textContent = "♘";
        whiteX = x;
        whiteY = y;
     else 
        if (blackX != -1)   // Remove black piece first
            table.rows[blackY].cells[blackX].textContent = "";
        
        e.target.textContent = "♞";
        blackX = x;
        blackY = y;
    
    if (blackX != -1 && whiteX != -1) 
        outputs[0].textContent = knightDistanceBfs(+rowInput.value, +colInput.value, whiteX, whiteY, blackX, blackY);
        outputs[1].textContent = knightDistance(+rowInput.value, +colInput.value, whiteX, whiteY, blackX, blackY);
     else 
        outputs[0].textContent = outputs[1].textContent = "--";
    


rowInput.oninput();

table  border-collapse: collapse; cursor: pointer; margin: 2px 
td  border: 1px solid; width: 22px; height: 22px; padding: 0 
input  width: 3em 

<div>Rows: <input id="rows" type="number" value="3"> Columns: <input id="cols" type="number" value="3"></div>
<table></table>
Number of moves: <span>--</span> (with BFS: <span>--</span>)
<div>Click on the board to place/remove pieces</div>

【参考方案2】：

这似乎是您想要的基本逻辑，其中?_locs 是一组特定骑士可以在的位置（初始化为其初始位置），one_move 产生一组可以在从参数中的一个位置在 1 步内到达：

while bk_locs intersect wh_locs is empty:
    bk_locs = one_move(bk_locs)
    wh_locs = one_move(wh_locs)

这不能处理计数移动（微不足道）或确定何时放弃（更难）。

【讨论】：

如果两个集合 bk_locs, wh_locs 的无序集已经满足，算法应该放弃。