有人可以帮助解决这种重复关系吗？ [关闭]

Posted 2023-02-19

【中文标题】有人可以帮助解决这种重复关系吗？ [关闭]

【英文标题】：Can someone help solve this recurrence relation? [closed]

【发布时间】：2011-04-26 18:21:03

【问题描述】：

T(n) = 2T(n/2) + 0(1)

T(n) = T(sqrt(n)) + 0(1)

在第一个中，我对 n、logn 等使用替换方法；都给了我错误的答案。 递归树：不知道能不能申请，因为根是常数。

有人可以帮忙吗？

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。

【参考方案1】：

使用Master Theorem来解决这种递归关系。

令 a 为大于或等于 1 的整数，b 为大于或等于 1 的实数 1. 令 c 为正实数， d 非负实数。鉴于表单的重复发生

T (n) = a T(n/b) + n^c .. 如果 n > 1

T(n) = d .. 如果 n = 1

那么对于 n 的 b 次方，

如果 log_b a c), 如果 log_b a = c, T (n) = Θ(n^c log n), 如果 log_b a > c, T (n) = Θ(n^{log_b a})。

1) T(n) = 2T(n/2) + 0(1)

在这种情况下

a = b = 2; 日志_b a = 1; c = 0（因为 n^c =1 => c= 0）

所以情况（3）是适用的。所以T(n) = Θ(n) :)

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2) T(n) = T(sqrt(n)) + 0(1)

设 m = log₂ n;

=> T(2^m) = T( 2^{m / 2} ) + 0(1)

现在重命名 K(m) = T(2^m) => K(m) = K(m/2) + 0(1)

应用案例（2）。

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【讨论】：

即使 f(n) 是常数，我也可以应用 masters theorem，例如在这种情况下 0(1) 第二个问题呢？

@Ringo：是的，你可以。查看编辑。

第 2 部分不正确。如果2^m = t，那么2^(m/2) 又是sqrt(t)。或者更确切地说，2^m = 2^log n = n，所以替换没有取得任何成果。

@casablanca：谢谢！！已更正。

非常感谢。但是，在第二种情况下，您最终是如何选择 m=lg(n) 的？我的意思是如何猜测？

【参考方案2】：

让我们看看第一个递归，T(n) = 2T(n/2) + 1。n/2 是我们的线索：每个嵌套项的参数是其父项的一半。因此，如果我们从 n = 2^k 开始，那么在我们达到基本情况 T(0) 之前，我们将有 k 个项在我们的扩展中，每个项都加 1。因此，假设 T(0) = 1，我们可以说 T(2^k) = k + 1。现在，由于 n = 2^k，我们必须有 k = log_2(n)。因此 T(n) = log_2(n) + 1。

我们可以将相同的技巧应用于您的第二次重复，T(n) = T(n^0.5) + 1。如果我们从 n = 2^2^k 开始，我们将在展开式中有 k 个项，每个项相加总数为 1。假设 T(0) = 1，我们必须有 T(2^2^k) = k + 1。由于 n = 2^2^k，我们必须有 k = log_2(log_2(n))，因此 T(n) = log_2(log_2(n)) + 1.

【参考方案3】：

对于第 1 部分，您可以按照 @Prasoon Saurav 的建议使用 Master Theorem。

对于第 2 部分，只需扩展循环：

T(n) = T(n ^ 1/2) + O(1)         // sqrt(n) = n ^ 1/2
     = T(n ^ 1/4) + O(1) + O(1)  // sqrt(sqrt(n)) = n ^ 1/4
     etc.

该系列将继续使用k 条款直到n ^ 1/(2^k) <= 1，即2^k = log n 或k = log log n。这给了T(n) = k * O(1) = O(log log n)。

【讨论】：

2^k = log n 是如何导致 k = log log n 的？

@casablanca，你能解释一下

【参考方案4】：

让我们看看第一个。首先，你需要知道 T(base case)。你提到它是一个常数，但是当你做这个问题时，把它写下来很重要。通常它类似于 T(1) = 1。我会使用它，但你可以推广到它是什么。

接下来，找出你递归的次数（即递归树的高度）。 n 是您的问题大小，那么我们可以重复将 n 除以 2 多少次？从数学上讲，n/(2^i) = 1 时的我是什么？想清楚，以后再坚持。

接下来，做一些替换，直到你开始注意到一个模式。

T(n) = 2(2(2T(n/2*2*2) + θ(1)) + θ(1)) + θ(1)

好的，模式是我们将 T() 多次乘以 2，然后将 n 除以 2 多次。多少次？ i次。

T(n) = (2^i)*T(n/(2^i)) + ...

对于最后的大 θ 项，我们使用了一个可爱的技巧。看看上面我们有几个替换的地方，忽略 T() 部分。我们想要 θ 项的总和。请注意，它们加起来为(1 + 2 + 4 + ... + 2^i) * θ(1)。你能找到1 + 2 + 4 + ... + 2^i 的封闭表格吗？我给你那个；这是(2^i - 1)。只是记住是一个很好的，但是here's how you'd figure it out。

总之，我们得到了所有的东西

T(n) = (2^i) * T(n/(2^i)) + (2^i - 1) * θ(1)

如果您之前解决了i，那么您知道i = log_2(n)。插入它，做一些代数，然后你就可以开始了

T(n) = n*T(1) + (n - 1)*θ(1)。 T(1) = 1。所以T(n) = n + (n - 1)*θ(1)。即 n 乘以一个常数，加上一个常数，再加上 n。我们去掉了低阶项和常数，所以它是 θ(n)。

Prasoon Saurav 使用主方法是正确的，但重要的是您要知道递归关系在说什么。要问的是，我在每个步骤中做了多少工作，以及n 大小的输入的步骤数是多少？

【参考方案5】：

递归关系和递归函数也应该从 f(1) 开始求解。在情况 1 中，T(1) = 1； T(2) = 3； T(4) = 7; T(8) = 15；很明显，T(n) = 2 * n -1，在 O 表示法中是 O(n)。 在第二种情况下 T(1) = 1; T(2) = 2; T(4) = 3； T(16) = 4； T(256) = 5； T(256 * 256) =6；很快就会发现 T(n) = log(log(n)) + 1 其中 log 以 2 为底。显然这是 O(log(log(n)) 关系。

【参考方案6】：

大多数时候处理递归的最好方法是绘制递归树并小心处理基本情况。

不过这里我给你一点提示，用替换法解决。

在循环中首先尝试替换n = 2^k 在重复第二次尝试替换n = 2^2^k