堆的算法时间复杂度

Posted 2023-02-19

【中文标题】堆的算法时间复杂度

【英文标题】：Heap's algorithm time complexity

【发布时间】：2020-03-27 16:34:18

【问题描述】：

谁能告诉我***https://en.wikipedia.org/wiki/Heap%27s_algorithm中显示的这个堆算法的时间复杂度到底是多少？

我搜索了几个网站，答案都很模糊，有些人说时间复杂度是 O(N!)，有些人说是 O(NlogN)。哪一个是正确答案？为什么？

谢谢。

【参考方案1】：

有 N 个！全部排列并生成所有排列需要 Θ(N!) 时间和 Θ(N) 空间。换句话说，每个排列都需要摊销的 Θ(1) 时间。

这些事实可以从***页面上提供的递归算法推导出来。本质上，代码交替交换和输出，因此每个输出都涉及一个交换。

但是，也有调用操作和循环测试。每次调用前都有一次循环测试，所以只需要统计调用的总数。

在最坏的情况下，在输出之前会有 n 个递归调用。但这只会发生一次，在算法的最开始。带有参数 n 的单个调用会产生 n！输出。它通过 n 个递归调用来做到这一点，每个递归调用都会产生 (n-1)！输出，并执行 (n-1) 次递归调用，因此有 n(n-1) 个参数调用 n-2。以此类推，所以一共有1 + n + n(n-1) + n (n-1)(n-2) + ... + n!来电。

可以写成Σ_0≤i≤nn!/i!或 (Σ_0≤i≤n1/i!)n!或者 (e-1)，大约是 1.71828 n！

【讨论】：

感谢您的清晰解释。但是我能知道为什么会出现这个算法吗？这种算法是否比其他方法更好地找到所有可能的排列，或者它只是另一种探索的新方法？谢谢。

@USER1223_T：我认为***页面上对此进行了解释。 （“算法使运动最小化。”）我怀疑想出它的人只是觉得它很酷；那是50多年前的事了，所以我不知道我们是否会得到答案。我认为这是一个很酷的算法，就其价值而言。

【参考方案2】：

我认为您在堆算法和堆排序算法或堆数据结构之间感到困惑。后两者的排序复杂度为 O(NlogN)。

您提到的算法是用于生成所有排列，因为有 N!每个 N 元素数组的排列，复杂度是 O(N!)。

【讨论】：

我明白了，谢谢你的解释。但是他们为什么要开发这种算法来查找所有排列，因为时间复杂度仍然是 O(N!)？如果与其他算法相比，此算法是否更有效（查找所有其他排列的正常方法）？